Cómo definir el $0^0$?

Question

Posibles Duplicados:
Cero a cero de energía

Según Wolfram Alpha:

$0^0$ es indeterminado.

Según google: $0^0=1$

Según mi calculadora: $0^0$ es indefinido

Hay consenso en cuanto a $0^0$? Y lo hace $0^0$ tan problemático?

Answer 1

Esta pregunta probablemente será cerrado como un duplicado, pero aquí es la forma en que solía explicar a mis alumnos:

Desde $x^0=1$ para todos los no-cero $x$, nos gustaría definir $0^0$ 1. pero ...

desde $0^x = 0$ para todos los positivos $x$, nos gustaría definir $0^0$ a 0.

El resultado final es que no podemos tener todas las "reglas" de los índices de jugar bien el uno con el otro si decidimos elegir una de las opciones anteriores, podría ser mejor si decidimos que $0^0$ debe ser sólo en la izquierda "no definido".

Answer 2

En la teoría de conjuntos, donde todo es un conjunto, $0$ está representado por el conjunto vacío. La exponenciación de conjuntos de $\alpha^\beta$, vamos a llamarlos cardinalidades y escribir $|\alpha|^{|\beta|}$, se define como la cardinalidad (número de elementos) de todas las funciones de $\beta \to \alpha$. Si tanto $\alpha$ $\beta$ están vacías, entonces no es exactamente una función de $\varnothing \to \varnothing$, por lo tanto $0^0 = 1$.

Aunque esto es sólo una convención, me gusta cómo se justifica $0^0 = 1$.

Answer 3

Una forma de verlo es que hay dos diferentes exponenciación de los operadores, que se denotan $a^b$:

• Discreto (algebraica): al $b$ es un número entero. A continuación, la exponenciación es múltiple la multiplicación o la división. Esto puede ser usado en cualquier grupo. Este operador se produce en serie de Taylor, el binomio de expansión, a la hora de calcular el tamaño del conjunto $A^B$ dado que los tamaños de la $A$ $B$ etc. Para este operador, $0^0=1$, o en general de cualquier elemento $a$, $a^0$ es la identidad multiplicativa.

• Continua (analítico): al $b$ es real, y $a>0$. A continuación, definimos $a^b = \exp(b \ln a)$. Tenga en cuenta que aquí $a$ debe ser positivo. Aquí lo mejor es que deje $0^0$ indefinido, de lo contrario, la función va a ser discontinua.

Usted puede tener muchas más variantes. En un monoid, puede definir la exponenciación $a^n$ donde $n$ es un entero no negativo. En un semigroup, puede definir la exponenciación donde $n$ es un entero positivo. En los complejos (o un algebraicamente cerrado de campo), se pueden definir varios valores de $a^{p/q}$ para un exponente racional. Los cardenales y los ordinales tienen sus propias exponentiations. El "continuo" exponente puede ser extendida a los números complejos: cuando $a>0$, entonces usted puede definir $\exp(b \ln a)$. Sin embargo, otra exponenciación de números complejos es multi-valores de $\exp(b \operatorname{Ln} a)$.

Todas estas operaciones son diferentes, tienen diferentes dominios. Los matemáticos son muy descuidado acerca de que la exponenciación de los que están hablando y contexto de uso-dependiente de la $a^b$. (Algunos lenguajes de programación tienen múltiples exponenciación operadores para lidiar con este problema.)

Answer 4

$0^0=1$, e "$0^0$" es una forma indeterminada.

El hecho de que es un bien definida la expresión de ninguna manera los conflictos con el hecho de que es una forma indeterminada.

$0^0=1$ porque es un vacío de producto. Multiplicando por ningún número es el mismo que multiplicar por $1$; por lo tanto, cuando uno se multiplica por el número no existe, el producto es $1$.

Es indeterminado porque uno puede dejar que el par $(x,y)$ enfoque de $(0,0)$ a lo largo de un camino que hace que el límite de $x^y$ igual a $5$ o a $1$ o a $\infty$, o a cualquiera de infinitamente muchos otros valores.

Si uno se acerca a $(0,0)$ a lo largo de cualquier camino que queda entre dos líneas de pendiente positiva, entonces el límite es de $1$.

Si $0^0$ no eran iguales a $1$, luego el familiar de expansión $$ e^z= \frac{z^0}{0!} + \frac{z^1}{1!} + \frac{z^2}{z!} + \cdots $$ sería un error cuando $z=0$, ya que el primer término es $\dfrac{0^0}{0!}$.

Answer 5

El consenso es que si vas a adoptar un convenio definiendo $0^0$, entonces probablemente debería ser $0^0=1$.

El problema es que hay una buena razón para operaciones básicas de la aritmética de los números reales son continuos, y la real y complejo exponenciación operadores no puede ser continua en $0^0$.

La solución, en mi opinión, es honesto reconocer que existen múltiples exponenciación operadores. Todos los casos en que la convención de $0^0 = 1$ es útil son discretos: por ejemplo, en una potencia de la serie, donde estamos interesados en monomials con exponentes de números enteros. Las necesidades que tienen de discretos exponentes son muy diferentes de las necesidades que tenemos para el continuo exponentes.