Número de números Primos en el Anillo de Enteros de un Campo de Número

Question

En el anillo de enteros de un número algebraico de campo, se dice que un entero algebraico $p$ es primo si, siempre que $p$ divide el producto de dos enteros algebraicos, $p$ divide a uno de ellos. Un entero algebraico se dice irreducible si no puede ser un producto de dos enteros algebraicos, que no son unidades.

Me encontré con el siguiente teorema: (1) El anillo de enteros de cualquier algebraica de números campo contiene una infinidad de elementos irreductibles. (2) En el anillo de enteros algebraicos de un número algebraico de campo, cada primer elemento es irreductible (pero no conversar)".

Para demostrar (1), traté de usar (2), y llegó a la siguiente pregunta.

¿El anillo de enteros de un número algebraico campo contiene una infinidad de números primos? Si la respuesta es sí, sigue del argumento de Euclides en el infinito de los números primos en $\mathbb{Z}$?

Answer 1

La respuesta es sí. Algo de alta potencia manera de ver esto es la siguiente:

Cualquier clase en el ideal de la clase de grupo contiene una infinidad de primer ideales. (Esto es parte de la generalización de la del teorema de Dirichlet sobre primos en arith. las progresiones de general campos de número.)

En particular, el trivial de la clase. Es decir, hay infinitamente muchos director de primer ideales, y los generadores de estos ideales son los deseados infinitamente muchos elementos principales.

Yo no soy de que no hay un enfoque más sencillo, entonces este, ya que la pregunta realmente es muy análoga a la del teorema de Dirichlet, que exige $L$-función de la maquinaria para probar. (Y eso es lo que se utiliza para probar el resultado que estoy citando.)

Answer 2

user160609 respuestas a su primera pregunta, en lo que creo que es la mejor manera posible.

En cuanto a tu otra pregunta: no necesariamente hacer un Euclid-argumento de estilo en un número de anillo, incluso para demostrar que hay infinitamente muchos elementos irreductibles, porque no se puede excluir la posibilidad de que el producto $p_1\dots p_n+1$ es una unidad.