La implementación de Dirichlet cdf?

Question

Necesito calcular el Dirichlet CDF, pero sólo puedo encontrar las implementaciones de los PDF.

¿Ustedes saben de alguna biblioteca (preferiblemente en R) de la aplicación?

Answer 1

Recuerde que, si $Y_i$ son independientes $\mathrm{Gamma}(a_i,b)$$i=1,\dots,k$, luego $$(X_1,\dots,X_k) = \left(\frac{Y_1}{\sum_{j=1}^k Y_j}, \dots, \frac{Y_k}{\sum_{j=1}^k Y_j} \right) \sim \mathrm{Dirichlet}(a_1,\dots,a_k) \, .$$

La prueba se puede encontrar en la página 594 de Luc Devroye del libro.

Por lo tanto, una posibilidad es calcular una aproximación de Monte Carlo $$F_{X_1,\dots,X_k}(t_1,\dots,t_k)=P\left\{X_1\leq t_1,\dots, X_k\leq t_k\right\} \, ,$$ comenzando con gammas. En R, intente esto:

pdirichlet <- function(a, t) {
    N <- 10000
    rdirichlet <- function(a) { y <- rgamma(length(a), a, 1); y / sum(y) }
    x <- replicate(N, rdirichlet(a), simplify = FALSE)
    sum(sapply(x, function(x) prod(x <= t))) / N
}

Yo no comprobar el código. Utilizar con precaución. Si usted encuentra cualquier error, por favor avísenos.

Answer 2

Cualquier biblioteca? Mathematica tiene. Aquí está el código para un ejemplo de la trama de una de Dirichlet CDF de la documentación:

Plot3D[CDF[DirichletDistribution[{1, 3, 2}], {x, y}], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]