Esta secuencia $\lfloor \sqrt{2003}\cdot n\rfloor $ contiene un número infinito de números al cuadrado

Question

Demostrar que: la secuencia de $\lfloor \sqrt{2003}\cdot n\rfloor $ contiene un número infinito de números al cuadrado.

Tal vez considere la ecuación de Pell para resolver este problema. Pero, ¿cómo hacer esto? Gracias

Answer 1

Suponga que $\frac{p}{q}$ es convergente de la continuación de la fracción de $\sqrt{2003}$. Tenemos $$ \left|\sqrt{2003}-\frac{p}{q}\right|\leq \frac{1}{q^2} $$ por lo tanto $n=pq$ (o $n=pq\pm 1$) es un buen candidato para $\left\lfloor n\sqrt{2003}\right\rfloor$ a ser un cuadrado, ya que $$ \left| pq\sqrt{2003}-p^2\right|\leq \frac{p}{q}\approx\sqrt{2003}. $$ Usted tiene que demostrar que entre los mejores aproximaciones racionales dadas por la continuación de la fracción de $\sqrt{2003}$, son algunos de los "mejores" aproximaciones para que $$ \left|\sqrt{2003}-\frac{p}{q}\right|\leq \frac{C}{q^2} $$ sostiene con una muy pequeña constante de $C$.
Eso se puede hacer de forma explícita escribiendo la continuación de la fracción de $\sqrt{2003}$ $$\sqrt{2003}=[44;\overline{1,3,12,1,1,6,2,1,2,1,3,6,7,1,\color{red}{43},1,7,6,3,1,2,1,2,6,1,1,12,3,1,\color{red}{88}}]$$ y el estudio de lo que sucede en cada paso, especialmente cuando nos encontramos con un gran elemento de continuar dicha fracción.

Answer 2

Sí, a través de la ecuación de Pell es una gran idea! En este caso, la mejor Pell ecuación a utilizar es $x^2-2003y^2 = -2$ (no hay soluciones a la $-1$ versión de esta ecuación de Pell). Dada una solución de este tipo, tenga en cuenta que $$ xy\sqrt{2003} - x^2 = \frac{2x}{y\sqrt{2003} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2} + x}, $$ y por lo tanto $$ 0 < xy\sqrt{2003} - x^2 < 1, $$ mostrando que $\lfloor xy\sqrt{2003} \rfloor = x^2$.

La primera solución a la ecuación de Pell $x^2-2003y^2 = -2$$(x,y) = (65912269,1472739)$, y una familia infinita de soluciones puede ser generada en la forma habitual el uso de la solución fundamental a$(x_1,y_1) = (4344427204728362,97071569134791)$$x^2-2003y^2 = 1$. (Y, de hecho, estas dos soluciones vienen exactamente de la convergents indicado por los números rojos en el gato D'Aurizio la respuesta!)

Answer 3

Hacer este CW... el negocio de las $xy \sqrt d$ no funciona, como tal, para $\sqrt 7.$ sin Embargo, parece que no tenemos problemas para encontrar $n$ que $\lfloor n \sqrt 7 \rfloor$ es un cuadrado. Así, hay infinitamente muchos de estos?

     38    100 = 2^2 * 5^2
     46    121 = 11^2
     64    169 = 13^2
     97    256 = 2^8
    167    441 = 3^2 * 7^2
    183    484 = 2^2 * 11^2
    200    529 = 23^2
    218    576 = 2^6 * 3^2
    318    841 = 29^2
    437   1156 = 2^2 * 17^2
    490   1296 = 2^4 * 3^4
    546   1444 = 2^2 * 19^2
    575   1521 = 3^2 * 13^2
    605   1600 = 2^6 * 5^2
    667   1764 = 2^2 * 3^2 * 7^2
    699   1849 = 43^2
    732   1936 = 2^4 * 11^2
    800   2116 = 2^2 * 23^2
    835   2209 = 47^2
    871   2304 = 2^8 * 3^2
    945   2500 = 2^2 * 5^4
   1062   2809 = 53^2
   1316   3481 = 59^2
   1361   3600 = 2^4 * 3^2 * 5^2
   1453   3844 = 2^2 * 31^2
   1597   4225 = 5^2 * 13^2
   1697   4489 = 67^2
   1748   4624 = 2^4 * 17^2
   2070   5476 = 2^2 * 37^2
   2241   5929 = 7^2 * 11^2
   2359   6241 = 79^2
   2419   6400 = 2^8 * 5^2
   2480   6561 = 3^8
   2604   6889 = 83^2
   2667   7056 = 2^4 * 3^2 * 7^2
   2731   7225 = 5^2 * 17^2
   2861   7569 = 3^2 * 29^2
   2927   7744 = 2^6 * 11^2
   2994   7921 = 89^2
   3130   8281 = 7^2 * 13^2
   3340   8836 = 2^2 * 47^2
   3630   9604 = 2^2 * 7^4
   3780  10000 = 2^4 * 5^4
   4010  10609 = 103^2
   4247  11236 = 2^2 * 53^2
   4657  12321 = 3^2 * 37^2
   5086  13456 = 2^4 * 29^2
   5174  13689 = 3^4 * 13^2
   5263  13924 = 2^2 * 59^2
   5443  14400 = 2^6 * 3^2 * 5^2
   5534  14641 = 11^4
   5626  14884 = 2^2 * 61^2
   5906  15625 = 5^6
   6290  16641 = 3^2 * 43^2
   6586  17424 = 2^4 * 3^2 * 11^2
   6686  17689 = 7^2 * 19^2
   6787  17956 = 2^2 * 67^2
   6991  18496 = 2^6 * 17^2
   7198  19044 = 2^2 * 3^2 * 23^2
   7303  19321 = 139^2
   7729  20449 = 11^2 * 13^2
   7947  21025 = 5^2 * 29^2
   8057  21316 = 2^2 * 73^2
   8279  21904 = 2^4 * 37^2
   8618  22801 = 151^2
   8848  23409 = 3^4 * 17^2
   8964  23716 = 2^2 * 7^2 * 11^2
   9676  25600 = 2^10 * 5^2

Answer 4

CW de nuevo. Comentario en la bonita idea de las otras respuestas: Supongamos que tenemos $$ x^2 - d y^2 = -k, $$ con pequeñas entero $k > 0.$ $$ ( x - y \sqrt d) (x + y \sqrt d) = -k, $$ $$ x - y \sqrt d = \frac{-k}{x + y \sqrt d}, $$ $$ x = y \sqrt d - \frac{k}{x + y \sqrt d}, $$ $$ x^2 = xy \sqrt d - \frac{kx}{x + y \sqrt d}, $$ $$ xy \sqrt d = x^2 + \frac{kx}{x + y \sqrt d}. $$ Si $kx < x + y \sqrt d,$ $\lfloor xy \sqrt d \rfloor = x^2.$

Cuando se $kx < x + y \sqrt d ?$ sabemos $ x - y \sqrt d < 0,$, de modo que $y \sqrt d > x.$ Que es, $$ x + y \sqrt d > 2x. $$ Por lo tanto, si $k = 1$ o $k = 2,$ conseguimos $\lfloor xy \sqrt d \rfloor = x^2.$

Sin embargo, como he encontrado al hacer $x^2 - 7 y^2 = -3,$ si $k \geq 3,$ esto no funciona. Permítanme demostrar que, necesitan algo más de tiempo...

Esto va a hacer. Si $x^2 - d y^2 = -k$ y el muy leve $x > \sqrt \frac{k}{3},$ pero $y \sqrt d \geq 2x,$ $d y^2 \geq 4 x^2.$ $x^2 - d y^2 \leq - 3 x^2.$ sin Embargo, hemos hecho que el leve enlazado $x > \sqrt \frac{k}{3},$, de modo que $3 x^2 > k.$ Se sigue que $x^2 - d y^2 < k.$ Esto contradice la suposición de que $y \sqrt d \geq 2x.$, excepto para un pequeño número finito de casos con $x \leq \sqrt \frac{k}{3},$ hemos $$ y \sqrt d < 2x, $$ $$ x + y \sqrt d < 3x, $$ $$ \frac{1}{x + y \sqrt d} > \frac{1}{3x}. $$ De $$ xy \sqrt d = x^2 + \frac{kx}{x + y \sqrt d} $$ esto dice $$ xy \sqrt d > x^2 + \frac{kx}{3x}, $$ $$ xy \sqrt d > x^2 + \frac{k}{3}. $$ Es decir, si $k \geq 3,$ si $x \leq \sqrt \frac{k}{3},$ $$ \lfloor xy \sqrt d \rfloor \neq x^2 . $$