Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos. Sea $X \cup Y$ el espacio con la topología de unión disjunta. Supongamos que $A \subset X$, $A$ cerrado, $f : A \to Y$ es una aplicación continua y cerrada.Consideremos el mapa cociente $\pi: X \cup Y \to X \cup _{f} Y$. Entonces $\pi$ es un mapa cerrado.
Estoy tratando de demostrarlo utilizando las definiciones directamente, pero se está volviendo un poco confuso. ¿Hay alguna manera 'inteligente' de demostrar que $\pi$ es cerrado?
En el siguiente diagrama, dejemos que el mapa $A \hookrightarrow X$ y los mapas a $X \cup Y$ sean las inclusiones. Los mapas $\bar f$ y $j: Y \hookrightarrow X \cup_f Y$ envían un punto a su clase de equivalencia, por lo tanto, el rectángulo exterior y los triángulos conmutan. Observa que la cerradura de $\pi$ es equivalente a la cerradura tanto de $\bar f$ como de $j$, por lo que demostrar que cada uno de estos dos mapas es cerrado puede resultar menos complicado.
Considera los conjuntos cerrados $B \subseteq X$ y $C\subseteq Y$. Necesitas demostrar que $\pi^{-1}(\bar f(B))$ y $\pi^{-1}(j(C))$ son cerrados en $X \cup Y$. Para cada conjunto, existe una fórmula sencilla a partir de la cual deberías ver, usando la cerradura de $A$ y de $f$ cuando sea necesario, que el conjunto es cerrado. ¿Puedes encontrarlas? Avísame si tienes dificultades y te proporcionaré algunas pistas.
Lo siento.. Realmente no entiendo por qué los conjuntos reclamados están cerrados, probablemente porque mi conocimiento sobre los espacios adyacentes es muy limitado. ¿Podrías por favor explicar más?
Tienes $\pi^{-1}(\bar f(B)) = B \cup f(B\cap A) \cup f^{-1}(f(B\cap A))$. ¿Ves por qué este conjunto está cerrado? Para $\pi^{-1}(j(C))$ hay una fórmula similar @VictorBarg
Usando la continuidad de $f$ y la cerradura de $f$ me queda claro que el conjunto es cerrado. Pero en realidad no veo cómo se obtiene esa fórmula. Lamento molestarte.
Solo seguiría las definiciones. Supongamos que $F\subseteq X\cup Y$ está cerrado. Entonces $F$ es la unión disjunta de los conjuntos $F_0=(F\cap X)\setminus A$, $F_1=F\cap A$, $F_2=(F\cap Y)\setminus f[A]$, y $F_3=F\cap f[A]$.
Gracias. ¿Podrías por favor explicar por qué $ F $ es unión de $ F_i $? Sé que un conjunto $ F $ en $ X \cup Y $ está cerrado si y solo si $ F \cap X $ y $ F \cap Y $ son cerrados en $ X $ e $ Y $ respectivamente.
@Victor: Cada punto de $X\cup Y$ pertenece exactamente a uno de los cuatro conjuntos $A$, $X\setminus A$, $f[A]$, y $Y\setminus f[A]$; Simplemente apliqué eso a $F$ intersectando cada uno de esos cuatro conjuntos con $F.
Sí. Justo ahora también me di cuenta de eso. Por cierto, ¿es cierto que el conjunto cerrado en $X \cup Y$ es la unión disjunta de $B_1$ y $B_2$, donde $B_1$ y $B_2$ son cerrados en $X$ y $Y$ respectivamente?
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Si $F \subset X \cup Y$ está cerrado, a) ¿qué significa eso, y b) ¿qué es $\pi^{-1}(\pi(F))$?