Hay un cubo y una hormiga es la realización de una caminata al azar en los bordes donde se puede seleccionar cualquiera de los 3 vértices adyacentes con la misma probabilidad. ¿Cuál es el número esperado de pasos que necesita hasta que llega a la diagonalmente opuesta vértice?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
John Channing
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Llame al conjunto que contenga sólo el vértice de partida $$. Puede mover a cualquiera de los tres vértices siguiente. Llame al conjunto de ellos $B$. Para el siguiente paso, usted puede ir de nuevo a $A$, o usted puede ir a cualquiera de los tres vértices. Llame a el conjunto de los vértices $C$. Finalmente, llamada con el objetivo de vértices $D$.
Llame el número esperado de pasos de $a$ a $D$ $E(AD)$ etc.
Considerar $E(BD)$. Podemos escribir una ecuación para la $E(BD)$ considerando qué sucede si usted comienza en $B$ y tomar dos pasos. Usted podría ir a $C$ y, a continuación, a $D$. La probabilidad de esto es de $2/3$ para el primer paso y $1/3$ para el segundo, o $2/9$ por encima de todos.
Usted también puede ir a $C$ y la espalda, o a $A$ y la espalda. De cualquier manera, su nuevo número esperado de pasos a $D$ es el mismo que era antes, porque estamos de vuelta donde había empezado. La probabilidad de esto es de $7/9$ porque las probabilidades de añadir a uno.
Esto le da
$E(BD) = 2/9(2) + 7/9(2 + E(BD))$
lo que significa que
$E(BD) = 9$
Se necesita un paso para ir de $a$ a $B$, por lo que
$E(AD) = 10$
Matthew Scouten
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Sugerencia: hay tres tipos de vértices además el mismo objetivo: 1) aquellos que de un paso de la meta 2) los dos pasos de la meta 3) el vértice opuesto a la meta Vamos a u_i ser el número esperado de pasos, a partir de un vértice de tipo i, hasta que se alcanza el objetivo. Teniendo en cuenta las posibilidades para el primer paso de un vértice de tipo i, escribir tres ecuaciones que expresan u_i en términos de la otra u_j. Luego de resolver.
