El problema se define una densidad de punto de $x\in[0,1]$ para un conjunto de Borel $A\subset [0,1]$ si $$ \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \frac{\mu([x-\varepsilon,x+\varepsilon]\cap A)}{2\varepsilon}=1.$$Denote all the density point of $Un$ to be $^*$. El problema pide para mostrar $$A^*\text{ is Borel}, \mu(A\,\Delta\, A^*)=0, \forall \text{Borel } A\subset[0,1]$$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue y $\Delta$ significa que diferencia simétrica.
El punto aquí es que el profesor le pregunta a usar Dynkin $\pi-\lambda$ teorema a demostrar y él nota que el intervalo de $I$$\mu(I\,\Delta\, I^*)=0$.
Me las arreglo para mostrar $A^*$ es Borel, pero no saben cómo mostrar la segunda parte. Dejo $\pi$ sistema de todos los intervalos en $[0,1]$ e las $\lambda$ sistema $S=\{A\text{ is Borel}:\mu(A\,\Delta\, A^*)=0\}$. Tengo problemas en la comprobación de que los si $A\in S$ $A^c\in S$ y si $A_1,\ldots,A_n,\ldots\in S$, $\bigcup A_n\in S$.
De hecho, no estoy seguro de que si Dynkin del teorema se podría aplicar aquí o hacer que el problema sea más fácil. O aún tenemos que ir a través de la prueba de uso de Vitali que cubre lema.
