calculando el género de una curva usando el polígono de Newton

Question

Dada una curva afín al plano $ \sum_ {i,j}a_{i,j}X^iY^j = 0$ su género puede ser calculado como el número de puntos integrales del interior del casco convexo de $\{(i,j) \mid a_{i,j} \neq 0\}$ . (reclamada aquí: http://lamington.wordpress.com/2009/09/23/how-to-see-the-genus/ )

¿Cómo se puede probar esto?

Answer 1

Aquí están las referencias que conozco sobre esto:

H. F. Baker, Ejemplos de aplicaciones del polígono de Newton a la teoría de los puntos singulares de las funciones algebraicas, Trans. Cambridge Phil. Soc. 15 (1893), 403-450.

A. G. Khovanskii, poliedros de Newton y el género de intersecciones completas, Divertido. Anal. i ego pril . Traducción al inglés: Anal funcional. Aplicable. , 12 (1978), 38-46.

V. I. Danilov y A. G. Khovanskii, poliedros de Newton y un algoritmo para computando los números de Hodge-Deligne, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 50 (1986), 925-945; traducción al inglés: Matemáticas. URSS-Izv. 29 (1987), 279-298.

P. Beelen y R. Pellikaan, El polígono de Newton de curvas planas con muchas puntos racionales, Diseños, códigos y criptografía 21 (2000), 41-67. (Véase Teorema 4.2.)

Creo que la declaración debería ser realmente, dada una curva irreducible en $ \mathbf {G}_m^2$ una fórmula para el género aritmético de su cierre en la variedad tórica proyectiva bidimensional correspondiente al polígono. De esta manera no es necesario imponer hipótesis de genericidad o restricciones a la característica. Sin embargo, las referencias anteriores no hacen todo esto, por lo que todavía hay espacio para una mejor referencia o prueba, creo.