(Sin resolver) En esta secuencia infinita, no hay término es un prime: demostrar/refutar.

Question

$ 343,~ 34343, ~3434343, ~343434343,\ldots$

$\begin{array}\\ \color{Red}{343} &\color{Red}{: 7^3}\\ 34343 &: 61\times 563\\ \color{verde}{3434343} &\color{verde}{: 3\times 11^2\times 9461}\\ \color{red}{343434343} &\color{Red}{: 7\times 521\times 94169}\\ 34343434343 &: 47\times 79\times 9249511\\ \color{verde}{3434343434343} &\color{verde}{: 3^2\19\times 29\times 67\times10336531}\\ \color{red}{343434343434343} &\color{Red}{: 7\times 151\times 324914232199}\\ 34343434343434343 &: 5638147\times 6091262669 \end{array}$

Actualización: Los números en negro,

$$F_n = \frac{34\times10^{6n-1}-43}{99}$$

y $F_n$ está compuesto por $n<1667$ usuario ( Innumerables) y $n<3101$ (usuario A. P.).

Answer 1

Tenemos $343434 = 2 \times 3 \times 7 \times 13 \17 \times 37$. $34343$ no es divisible por ninguno de estos números. Por lo tanto, la larga $34343$, $34343 + 343434 \times 10^5$, $34343 + 343434 \times 10^5 \times (10^0 + 10^6)$, $34343 + 343434 \times 10^5 \times (10^0 + 10^6 + 10^{12})$, $34343 + 343434 \times 10^5 \times (10^0 + 10^6 + 10^{12} + 10^{18})$ etc. se compone de números que no son divisibles por $2, 3, 5, 7, 13, 17, \quad \text{o}\quad 37$.

De forma heurística, la probabilidad de que un número aleatorio $$ N de ser primer es de $1 / \ln N$. Teniendo us $7$ pequeños primos excluidos como posibles factores aumenta la probabilidad de que por un factor de $(2/1)(3/2)(5/4)(7/6)(13/12)(17/16)(37/36) ≈ 5.1757$.

Los números son de alrededor de $3.4343 \times 10^{5+6k}$ con $k = 0, 1, 2, 3,\ldots$ El logaritmo natural es de alrededor de $13.8155 k + 10.4442$. Así que la probabilidad de que cada uno de los números es una de las principales es de alrededor de $5.1757 / (13.8155 k + 10.4442)$. El número esperado de números primos entre los números por $k = 0$ $n$ es de alrededor de $0.3746 \cdot\ln (n) + 0.4013$. Para $n = 1,666$ el número esperado de números primos es de alrededor de $3.1803$; ese es el rango que Innumerables marcada. Por lo que al no encontrar los números primos es un poco de mala suerte, pero no raro.

Por un costo de $50\%$ de posibilidades de encontrar un alojamiento, se espera que el número de números primos necesidades de aumentar en $\ln 2 ≈ 0.6931$, entonces $\ln n$ que necesita ser aumentado en $0.6931/0.3746 ≈ 1.8502$, $$ n debe ser multiplicado por $6.36$. Así que hay un $50\%$ de posibilidades de encontrar un alojamiento con hasta $63,600$ dígitos; luego $50\%$ de oportunidad para un primer con hasta $de 404.000$ dígitos y así sucesivamente.

Por supuesto, todo lo que es justo heurística. Si es correcto, luego de un primer casi seguro que existe. Encontrar un probable prime podría ser muy duro. Si la comprobación de una serie que da una $50\%$ de probabilidad de falla, el siguiente rango de dar un $50\%$ de oportunidad es de $6.36$ veces más grande. Miller-Rabin prueba crece más que cuadrática con el número de dígitos, y hay más números para probar, así que la próxima gama tarda más de $6.36^3 = 257$ veces más.