8 votos

Demostrar que $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}<2n-1$

Deje $x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n (n\ge2)$ ser números reales mayores que a $1.$ Supongamos que $|x_i-x_{i+1}|<1$$i=1,2,3,\cdots,(n-1)$.

Demostrar que $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}<2n-1$$

Por favor ayuda!!!

5voto

Martin R Puntos 7826

Set$d_i = x_{i+1} - x_i$$i = 1, \ldots, n-1$. Entonces $$ \frac{x_n}{x_1} = 1 + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_i}{x_1} \quad , \quad \frac{x_i}{x_{i+1}} = 1 - \frac{d_i}{x_{i+1}} $$ y por lo tanto $$ \frac{x_n}{x_1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{x_i}{x_{i+1}} = n + \sum_{i=1}^{n-1} d_i \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{i+1}} \right) \\ \le n + \sum_{i=1}^{n-1} \lvert d_i \lvert \left\lvert \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{i+1}} \right \rvert < n + (n-1) = 2n-1 $$ porque

  • $\lvert d_i \lvert < 1$ y
  • todos los números de $1/x_i$ están en el intervalo de $(0, 1]$, de modo que el (valor absoluto) de cualquier diferencia $1/{x_1} - 1/{x_{i+1}}$ es menor que uno.

La desigualdad en realidad puede ser mejorado un poco. De $\lvert x_1 - x_{i+1} \lvert < i$ se sigue que $$ \left\lvert \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{i+1}} \right \rvert < \frac{i}{i+1} $$ y el método anterior da $$ \frac{x_n}{x_1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{x_i}{x_{i+1}} < n + \sum_{i=1}^{n-1}\frac{i}{i+1} = (2n-1) - \sum_{i=2}^{n} \frac 1i \, . $$ La elección de $x_i = i + (i-1) \varepsilon$ muestra que esta enlazado es fuerte.

4voto

Random Username Puntos 34

En primer lugar, supongamos que al menos una de las fracciones es estrictamente menor que 1. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $\dfrac{x_n}{x_1}<1$. A continuación, $$\dfrac{x_n}{x_1}+\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{x_i}{x_{i+1}}<1+\sum_{i=1}^{n-1}(1+\dfrac{x_i-x_{i+1}}{x_{i+1}})<1+2(n-1) = 2n-1.$$

Ahora si, todas las fracciones de al menos 1, entonces son todos iguales a 1, ya que su producto es 1. En ese caso, la suma es $n$ y fácilmente satisface $n<2n-1$.

2voto

Ed Krohne Puntos 67

Prueba: tengo esta prueba para el caso de dos

(1): si para todas las $k=1,2,\cdots,n-1$,$a_{k}\le a_{k+1}$, luego tenemos $$a_{k}\le a_{k+1}<a_{k}+1$$ así tenemos $$a_{i}<a_{i-1}+1<a_{i-2}+2<\cdots<a_{1}+(i-1)$$ entonces tenemos $$\dfrac{a_{1}}{a_{2}}+\dfrac{a_{2}}{a_{3}}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}+\dfrac{a_{n}}{a_{1}}<(n-1)+\dfrac{a_{1}+(n-1)}{a_{1}}<(n-1)+1+(n-1)=2n-1$$

(2):define un conjunto $A=\{k|a_{k}>a_{k+1}\}$,Assmue que $|A|=p$$k\in A$, tenemos $$a_{k+1}<a_{k}<a_{k+1}+1,\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}}<\dfrac{a_{k+1}+1}{a_{k+1}} <1+\dfrac{1}{a_{k+1}}<2$$ entonces tenemos $$\dfrac{a_{1}}{a_{2}}+\dfrac{a_{2}}{a_{3}}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}<2p+(n-1-p)=n-1+p$$ y $$\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=\dfrac{(a_{n}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_{2}-a_{1})+a_{1}}{a_{1}}<\dfrac{(n-1-p)+a_{1}}{a_{1}}<(n-1-p)+1=n-p$$ así que para este caso también se han $$\dfrac{a_{1}}{a_{2}}+\dfrac{a_{2}}{a_{3}}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}+\dfrac{a_{n}}{a_{1}}<n-1+p+n-p=2n-1$$

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