Se requieren cinco puntos no colineales distintos para definir una elipse de manera similar a como tres puntos no colineales definen un círculo y se pueden utilizar para determinar el punto central de ese círculo. He encontrado muchas explicaciones mecánicas que muestran cómo dibujar una elipse dada el eje mayor, el eje menor y/o los focos, así como soluciones algebraicas para determinar estas características clave dadas cualquier 5 puntos en la elipse. Lo que estoy tratando de encontrar es un método geométrico de regla y compás para ubicar los ejes mayor y menor y los focos de una elipse cuando ninguno de ellos es conocido, pero dados 5 puntos que se sabe que están en una elipse arbitrariamente posicionada y orientada. Específicamente, los ejes de la elipse no están necesariamente orientados en ninguna relación particular con los ejes de coordenadas X e Y. No estoy buscando que se trace una solución algebraica. Ya tengo esa capacidad. Más bien, estoy buscando una técnica de construcción mecánica para localizar los focos y/o los dos ejes a partir de los 5 puntos conocidos. Una construcción tipo regla y compás es preferible, pero una solución con alfileres y cuerda u otro tipo similar sería una alternativa razonable. ¿Se puede hacer esto? Si no, ¿alguien puede proporcionar una prueba de que es imposible? Gracias.
Gracias por la respuesta @Orest. Aprecio especialmente la referencia a "Un tratado elemental sobre la Geometría de las Cónicas". Parece ser una excelente referencia y estoy deseando revisarla. A primera vista, creo que has respondido probablemente a mi pregunta sobre cómo lograr la tarea con sólo una regla y un compás, pero quiero traducir tu respuesta en un proceso paso a paso funcional antes de darle la aprobación final. Veré si puedo trabajar en todo mañana y te informaré sobre lo que logro resolver.
3 votos
En general, dados cinco puntos, hay una cónica que pasa a través de ellos. No necesariamente tiene que ser una elipse. La herramienta de geometría dinámica, Geogebra, puede dibujar la cónica dados los cinco puntos y también dará la ecuación de la curva. Puedes resolver el problema algebraicamente: introduce un sistema de coordenadas e identifica las coordenadas de los puntos. Supón una ecuación de segundo grado y resuelve para los coeficientes.
0 votos
Intente comenzar aquí. N.B.: lo primero que dice el artículo es: “Una curva cónica no se puede construir como una curva continua (o dos) con regla y compás.” (No es cierto en el caso de un círculo o una cónica degenerada, por supuesto).
0 votos
Gracias por la pista de Geogebra @Muralidharan. Estoy familiarizado con Geogebra, pero no había visto el comando Cónica hasta que mencionaste la capacidad. Aún no responde a mi pregunta sobre la construcción con regla y compás, pero puede ser útil en otros problemas relacionados.
0 votos
Gracias por el enlace de Wikipedia @amd, pero no creo que desapruebe mi objetivo. No estoy tratando de construir la elipse real usando una regla y un compás. Estoy tratando de ingeniería inversa solo los ejes y / o los focos. No estoy seguro de que el hecho de que una elipse no se pueda dibujar con una regla y un compás significa necesariamente que estos puntos clave no se puedan ubicar con ellos. Todavía tengo esperanza. De hecho, voy a investigar la idea del segundo párrafo de la sección que citaste basado en la conversación del teorema de Pascal sobre los lados opuestos de un hexágono.
0 votos
Como mencionó @David, echa un vistazo al teorema de Pascal que proporciona un medio para obtener puntos, uno por uno, en una cónica (cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalConics.shtml). Además, vale la pena conocer este teorema que es bastante fundamental en el estudio de las cónicas.
0 votos
Una vez que tengas algunos puntos en la elipse y sus tangentes, parece que uno debería poder recuperar los focos o un foco y directriz a partir de ellos.