Hacer gamma matrices forman una base?

Question

Los cuatro gamma matrices forman una base para el conjunto de las matrices de $GL(4,\mathcal{C})$? En realidad estaba tratando de evaluar un término como $\gamma^0 M^\dagger \gamma^0$ en una representación independiente de la forma, donde a $M,M^\dagger$ $4\times 4$ matrices.

Answer 1

Como respuestas anteriores han señalado acertadamente gamma matrices no forma una base de $M(4,\mathbb{C})$. Sin embargo, usted puede construir uno de ellos de la siguiente manera

• 1 la matriz identidad $\mathbb{1}$
• 4 matrices de $\gamma^\mu$
• 6 matrices de $\sigma^{\mu\nu}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu]}$
• 4 matrices de $\sigma^{\mu\nu\rho}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho]}$
• 1 matriz $\sigma^{\mu\nu\rho}=\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\delta]}=i\epsilon^{\mu\nu\rho\delta}\gamma^5$

estos 16 matrices de la forma de la base de que estábamos buscando.

Además se utilizan para la construcción de la spinor bilinears multiplicando por $\bar{\psi}$ a la izquierda y $\psi$ a la derecha, que se transforman en las de Lorentz índices de la siguiente manera

• $\bar{\psi}\psi$ escalares
• $\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ vector
• $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$ 2ª fila (antisimétrica) tensor de
• $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu\rho\psi}$ pseudovector
• $\bar{\psi}\gamma^5\psi$ pseudoscalar

el hecho de que constituyen una base de de $M(4,\mathbb{C})$ es muy importante debido a que estos son la única independiente spinor bilinears (he.e $\bar{\psi}M\psi$) que puede ser construido, cualquier otro puede ser expresado por una combinación lineal de estos. Una cuestión diferente es si tendría ningún sentido a la suma de cualquiera de estos, ya que son diferentes tipos de tensores en virtud de Lorentz grupo de transformaciones.

Answer 2

Para complementar V. Moretti excelente respuesta, vale la pena destacar que la dimensión de la cuatro por cuatro matrices complejas $\mathbb C^{4\times 4}$, cuando es visto como un espacio vectorial sobre$\mathbb C$$4\!\times\!4=16$. Como tal, un conjunto de cuatro matrices (es decir, los vectores en $\mathbb C^{4\times 4}$) nunca puede ser una base para la misma.

También vale la pena decir que el grupo lineal general $\text{GL}(4,\mathbb C)\subset\mathbb C^{4\times 4}$, es decir, el cuatro por cuatro matrices con determinante distinto de cero, no es un espacio vectorial (para uno, no tiene un cero), y por lo tanto, es erróneo hablar de una base para la misma. Dicho esto, todavía es posible pedir para un conjunto mínimo de vectores (es decir, las matrices) cuyo lapso contendrá $\text{GL}(4,\mathbb C)$; esto resulta requieren de una completa base de $\mathbb C^{4\times 4}$ debido a que las matrices que 'saltar', $\mathbb C^{4\times 4}\setminus\text{GL}(4,\mathbb C)$, tienen medida cero, por lo $\text{GL}(4,\mathbb C)$ es un complejo colector de dimensión 16 y requiere que muchos de los parámetros para describir.

Answer 3

No, ellos no, debido a las dimensiones de razones, pero ellos son los generadores del álgebra. Es decir, $I$ y los productos de $\gamma^a$ (productos de uno, dos, tres y cuatro matrices) forman una base.

NOTA AÑADIDA. Como Emilio Pisanty correctamente comentó (haciendo también algunas más interesantes comentarios) $GL(4, \mathbb C)$ no es un espacio lineal para preguntas sobre las bases de que son inapropiados. De hecho, yo implícitamente interpretado que ese $GL(4,\mathbb C)$$M(4, \mathbb C)$, el complejo de álgebra de $4\times 4$ matrices complejas que, por definición, es también un espacio vectorial complejo.