¿Son homomorfismos de anillos débilmente étale de presentación finita, étale?

Question

Siguiendo [Stacks, 092A], digamos que un homomorfismo de anillos $A \to B$ es débilmente étale si tanto $A \to B$ como $B \otimes_A B \to B$ son planos.

Pregunta. ¿Los homomorfismos de anillos débilmente étale de presentación finita son étale?

Según la Proposición 2.3.3 aquí, la respuesta es afirmativa. Desafortunadamente, la demostración hace referencia a algunos resultados en un monógrafo sobre álgebra conmutativa generalizada, lo cual parece ser excesivo. Estoy buscando una demostración más autocontenida, o al menos una que podría considerarse razonablemente como puramente álgebra conmutativa (posiblemente incluyendo álgebra homológica).

Mirando alrededor en [Stacks], encontré lo siguiente:

• Por 092M, los homomorfismos de anillos débilmente étale son formalmente no ramificados.
• Por 00UU, un homomorfismo de anillos formalmente no ramificado de presentación finita es no ramificado.
• Por 08WD, un homomorfismo de anillos plano y no ramificado de presentación finita es étale.

Esto parece ser una demostración completa de que los homomorfismos de anillos débilmente étale de presentación finita son efectivamente étale. ¿Me perdí algo? Me sorprende que esta afirmación no aparezca directamente en [Stacks].

Answer 1

Esto es en realidad bastante fácil. De hecho, si $f \colon A \to B$ es de presentación finita, entonces también lo es $B \otimes_A B \to B$ por Tag 00F4 (4). Además, esto último es plano por suposición, y siempre es un morfismo de anillos sobreyectivo (es decir, inmersión cerrada). Así que, por Tag 0819, es una inmersión abierta en un subconjunto clopén.

Por lo tanto, la diagonal es una inmersión abierta, lo que significa que $f$ es no ramificado (Tag 02GE). Dado que también es plano de presentación finita, esto demuestra que $f$ es étale (Tag 02GV). (En el proyecto Stacks, G-no ramificado significa no ramificado y localmente de presentación finita.) $\square$

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Editar: Acabo de darme cuenta de que esto es lo mismo que la explicación que da el proyecto Stacks, distribuida en los diversos tags que enlazaste. Por lo tanto, la respuesta es: sí, funciona, y no, no te perdiste nada.

Supongo que el primer tag que diste es la idea de Johan de incluir el resultado en el proyecto Stacks; la afirmación en la que estás interesado se sigue inmediatamente de él. Otro factor contribuyente es la observación de que el caso de presentación finita no es típicamente lo que interesa cuando se estudia la topología pro-étale.

Esta sección parece estar escrita principalmente para incluir el teorema de Olivier, dado en Tag 092Z. Ciertamente, para ese teorema, el caso étale no es muy interesante.

Answer 2

Esto es un poco inútil en este momento, pero como pude obtener una copia de uno de los artículos originales de Olivier sobre morfismos débilmente étale/absolutamente planos, pensé en compartir lo que encontré.

El artículo

Ferrand, Daniel. "Epimorphismes d'anneaux et algèbres séparables." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 265 1967 A411–A414. MR0244313 (39 #5628)

es citado como habiendo introducido la noción, pero no logro identificarlo explícitamente. El artículo al que me refería arriba es

Olivier, Jean Pierre. "Montée des propriétés par morphismes absolument plats." Comptes-Rendus des Journées d'Algèbre Pure et Appliquée (Univ. Sci. Tech. Languedoc, Montpellier, 1971), pp. 86–109. Univ. Sci. Tech. Languedoc, Montpellier, 1971. MR0342509 (49 #7255)

La definición es la siguiente:

Definición. Sea $f\colon X \to Y$ un morfismo de esquemas. Decimos que $f$ es diagonalmente plano si $\Delta_f\colon X \to X \times_Y X$ es plano. Decimos que $f$ es absolutamente plano si $f$ es plano y diagonalmente plano.

Olivier menciona que es fácil ver que un morfismo diagonalmente plano es localmente de tipo finito si y solo si es neto, es decir, formalmente no ramificado y localmente de tipo finito como en el Anneaux locaux henséliens de Raynaud, usando (una modificación de) la demostración en Ch. III, §4, Prop. 9 (que básicamente es [Stacks, Tag 092M]). Fortalecer esto a localmente de presentación finita, y luego usar que los morfismos planos y no ramificados son étale te da tu afirmación.

En artículos posteriores Ferrand y Olivier simplemente afirman que la afirmación que deseas es cierta sin muchos comentarios, al igual que artículos recientes como el de Picavet. También es divertido que Paxia cite notas de curso de S. Greco para este resultado.