Lo que si $f^{(n)}(a)=0$ todos los $n\geq 0$?

Question

Esta mañana yo estaba tratando de imaginar qué función se vería como si todos los que fueron derivados a cero en un punto de $a$ (suponiendo que es $C^\infty$). Mi primer pensamiento fue que no debe ser idénticamente cero en un barrio de $a$, pero esto es cierto sólo si la función es analítica. Así que mi pregunta es esta:

¿Qué podemos decir, en general, acerca de una función suave (es decir, tiene derivadas de todos los órdenes), cuyos derivados son todos cero en un único punto de $a$?

Parece que la función de $f$ debe acercarse a cero en $a$ más rápido que cualquier polinomio porque de Taylor teorema. En otras palabras, por cada $k\geq 1$, existe alguna función del resto $r_k(x)$ $$\frac{f(x)}{(x-a)^k}=r_k(x)\qquad \left( \text{and}\quad \lim_{x\rightarrow a}\ r_k(x)= 0\right).$$

Por lo que podemos concluir que el $f$ se aproxima a cero más rápido que cualquier polinomio? Si es así, ¿cómo es esto lo hizo preciso? Y es esto todo lo que podemos decir acerca de estas funciones? (Estas preguntas pueden ser subordinada a la principal pregunta)

Answer 1

Si todos los derivados de $f$ $0$ se desvanecen, a continuación, $\lim_{x \to 0}\ f(x)/x^k=0$ todos los $k$, por l'Hospital del teorema utilizado $k$ veces.

El recíproco no es cierto: $e^{-1/x^2} \sin e^{1/x^2}$ va a cero más rápido que cualquier polinomio, pero su derivada no está definida continua en $0$, por lo que la segunda derivada en $0$ no existe.

Si $f$ es infinitamente diferenciable en a $0$, y va a $0$ más rápido que cualquier polinomio, entonces $f$ tiene todos sus derivados en $0$ desaparecer; esto se deduce a partir del teorema de Taylor. Te voy a dar un poco más de detalle: Supongamos que por el bien de la contradicción que $f$ es infinitamente diferenciable y $f^{(k)}(0) = c \neq 0$. Luego de Taylor teorema muestra que $f(x) = c x^k/k! + r(x)$ donde $\lim_{x \to 0} r(x)/x^k=0$. Por lo $\lim_{x \to 0} f(x)/x^k = c/k!$, no $0$, una contradicción.