¿Cómo explicar una ecuación cuadrática de campo para un principiante? Por ejemplo. ¿cómo surgió el tema de inicio? Todas las máquinas modernas que utilizan para explicar que hace que sea muy confuso cómo uno debe pensar en términos más concretos.
Por favor, también dar un ejemplo de pregunta y respuesta.
Por ejemplo, un estudiante universitario como yo, que sabe que las cosas a través del cálculo, álgebra de preparatoria, y algo de aritmética modular.
A menudo en matemáticas nos encontramos con que por la expansión de nuestro universo nos puede encontrar más información acerca de un tema que tiene sus raíces en algo más sencillo. Mira polinomios sobre los números reales, algunos de ellos no tienen raíces, pero todos ellos tienen sus raíces en la $\Bbb C$, el de los números complejos. Cuadrática campos creció a partir de la década de estudio de la formas cuadráticas en dos variables, es decir, cosas de la forma
$$ax^2+bxy+cy^2$$
el caso de $a=c=1, b=0$ da $x^2+y^2$ que es exactamente la denominada "norma" de la función en $\Bbb Q(i)$, es decir, para $x,y\in\Bbb Q$ hemos
$$N(x+iy)=x^2+y^2.$$
Y ya que estamos el número de teóricos, nos preocupamos principalmente sobre entero de soluciones a cosas como $x^2+y^2=n$. Después de la expansión de sólo "enteros cuya suma de cuadrados es igual a otro número entero" a "los elementos de $\Bbb Q(i)$ con coordenadas enteras, de modo que su norma es $n$" nos encontramos con que la última pregunta es más fácil de estudiar porque cosas como $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$, y debido a que usted puede pegarse $\Bbb Z[i]$ a $\Bbb C$ en una manera obvia y gracias a el círculo de Gauss problema, podemos utilizar esta filosofía ni contar acerca de cuántas maneras podemos encontrar soluciones!
Así que el propósito de tratar con el campo es que tiene mucho más útil de la estructura para nosotros para construir allí, y es mucho más fácil de trabajar que trabajan directamente con los números enteros. Un problema similar que se resuelve de esta manera desde mi ejemplo original de polinomios sobre $\Bbb R$, hay un teorema que las raíces reales de los polinomios de venir en el complejo conjugado de pares con la igualdad de multiplicidades, de la manera más fácil de probar que esto es para
$$c\prod_{i=1}^n (x-r_i)$$
Pero no llega a este tangibles, computable de expresión, sin la factorización en factores lineales, que sólo es necesariamente cierto por $\Bbb C$.
Otros cuadrática campos se utilizan para el estudio de otras formas cuadráticas, y por eso hemos desarrollado una gran cantidad de teoría para ellos por esta razón, aunque-en el ínterin, ellos han tomado una enorme y rica que la teoría de su propio! Un ejemplo, que es quizás un poco más avanzado que el de donde eres, pero no demasiado lejos (ya que he estudiado aritmética modular) es que la información que puede obtener de algunos cuadrática campos, nos puede decir acerca de las soluciones a $ax^2+bx+c=0$ más de los enteros modulo $n$, que es: que nos puede ayudar a averiguar cuando hay soluciones para cuadrática congruencias a través de la ley de la reciprocidad cuadrática.
Voy a empezar con la advertencia de que nunca he sido un profesor de matemáticas y yo probablemente estaría terrible en ello.
En primer lugar me gustaría saber si el principiante interés en las matemáticas es más algebraicas o más geométrica.
Por algebraicas, estoy hablando de la resolución de ecuaciones como $x^2 + 3y^2 = 5$ o $x^2 - 47y^2 = 37$. Un ejemplo de pregunta sería si estas ecuaciones tienen solución en los números enteros. La respuesta es que la primera ecuación no, mientras que el último ha infinitamente muchos (por ejemplo,, $x = 15$, $y = 2$). Sorprendentemente, la determinación de la ex no tiene soluciones pueden hacer uso de los números imaginarios. Usted puede tratar de resolver ecuaciones como estas tratando de toda una serie de valores, que podría no ser tan malo en el más caso, pero se puede intentar en los menos de los casos, incluso si hay infinitamente muchas soluciones.
Para alguien con más geométrica intereses, me gustaría ir adelante e introducir el concepto del plano complejo y los números de la forma $a + b \sqrt{-d}$ donde $d$ es un entero positivo y $a$ $b$ son cualquier enteros (incluyendo $0$). Realmente no se puede hacer mayor o menor que en estas cifras, pero se puede comparar hasta qué punto estas cifras son de $0$. Un ejemplo de pregunta sería cual de $-7 + 5 \sqrt{-2}$ $12 - \sqrt{-2}$ está más cerca de a $0$, y qué parte el teorema de Pitágoras juega en esto.
Para alguien más interesado en el aspecto histórico de la misma, supongo que se trata del romance del último teorema de Fermat, "un simple nudo atado por una parte-el tiempo matemático francés que trabaja solo sin necesidad de un ordenador" y no desvinculado bastante a la satisfacción de un capitán francés del espacio en la era de la verdad omnipresente equipos.
Existe también el número perspectiva teórica, para preguntas tales como ¿qué números primos pueden ser las soluciones a una ecuación como $x^2 - 10y^2$. No es por nada que hay todo un libro titulado" Último Teorema de Fermat y la Teoría Algebraica de números.
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