Puede coseno kernel ser entendido como un caso de la distribución Beta?

Question

Como señaló Wand y Jones (1995), la mayoría de los núcleos estándar puede ser visto como un caso de

$$ K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}} $$

family, where $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ is a Beta function. Different values of $p$ lead to rectangular ($p=0$), Epanechnikov ($p=1$), biweight ($p=2$) and triweight ($p=3$) kernels.

Can cosine kernel (as understood in R's density function),

$$ \frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}} $$

also be thought as a member of this family? If so, what is an appropriate value of $p$ for it? After doing some simulations I guess that $\aprox 2.35$ es bastante estrecha, pero (cómo) puedo encontrar la adecuada, sin simulación? Si no, puede calcularse utilizando la beta de distribución?

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Varita, M. P. y Jones, M. C. (1995). Kernel Smoothing. Chapman y Hall, en Londres.

Answer 1

El coseno del núcleo no es una distribución beta.

Tenga en cuenta que las siguientes cosas son todas verdaderas de la norma coseno de la densidad:

• $f(0)=1$

• $f(0.5)=0.5$

• La mitad derecha de esta densidad es rotacionalmente simétrico con respecto al $x=\frac12$: (es decir, considerando a las otras dos propiedades que implica $1-f(x)=f(1-x)$ )

Pero no beta de la densidad en (-1,1) tendrá todos los estas propiedades juntas.

La clave de la beta de densidad de kernel puede ser escrita como:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Por ejemplo, la primera condición implica una $a$ acerca de $3.38175$ ($p=2.38175$). La segunda implica un $a$ 1 ($p=0$).

Sin embargo, los valores de $a$ cerca de la elección de $a$ (3.38175) da densidades muy cerca del coseno.

[Esto es muy cerca de su $p=2.35$ (desde $p=a-1$); un rango de valores en esta región se dan densidades similares a las del coseno.]

La más pequeña desviación absoluta en la densidad sucede por $p\approx 2.3575$ ... no es que la minimización de las desviaciones absolutas hará las propiedades más por igual.

Aquí está el coseno y beta (con $p=2.3575$):

Aunque no son lo mismo, son muy parecidos en la forma.