Cada unital anillo contiene todos los enteros?

Question

Supongamos que hay un anillo de $R$, con la identidad multiplicativa $1$.

1. Sabemos que $1+r\en R$, donde $r$ es cualquier elemento del anillo $R$. Esto no significa de $1+1$ es también parte del anillo, o $r$ tiene que ser un elemento del anillo de diferentes desde $1$?

2. Es de 1 $+1$ llamado $2$ en el ring? Del mismo modo, como $-1$ es también parte del anillo, es de $-1+ -1$ llamado $-2$ en el ring? Si es así, entonces supongo que todos los enteros que están contenidas en cada unital anillo.

Estas preguntas son muy elementales. Sin embargo, he leído contradictorios comentarios en algunos lugares que tienden a confundirme. Así que pensé que sería mejor para despejar cualquier tipo de dudas, sin embargo trivial de las preguntas.

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

En efecto, nos llame a $1+1 = 2$ en cualquier unital anillo, y del mismo modo, tenemos en cualquier unital anillo de un sub-anillo generado por $1$, que consistirá, precisamente, de los elementos de la forma $1+1+\cdots +1$ y sus puntos negativos (y $0$).

Sin embargo, esto no significa necesariamente que el anillo contiene todos los números enteros (por lo que me significa un sub-anillo isomorfo a los enteros). La razón es que puede suceder que la adición de $1$ a sí mismo un cierto número de veces da $0$, como es el caso en el anillo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, donde la adición de $n$ copias de $1$ da $n$ lo que equivale a $0$ en ese anillo.

Si no hay manera de conseguir $0$ mediante la adición de $1$ a sí mismo, podemos decir que la característica del anillo es de $0$, y el sub-anillo generado por $1$ es isomorfo a los enteros.

Si hay una manera de conseguir $0$ y $n$ es el número más pequeño de $1$'s necesita agregar para obtener $0$, podemos decir que el anillo tiene la característica de $n$. En este caso el sub-anillo generado por $1$ va a ser isomorfo a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Answer 2

Hay una sutil distinción entre si un unital anillo "contiene enteros" o contiene un sub-anillo "que parece enteros". Los elementos que se describen son construidos de modo que se pudiera construir los números enteros; es decir, usted comienza con $1$ y de forma iterativa, proceda a agregar a sí mismo. Sin embargo, si el anillo es un anillo de matrices, y el elemento $1$ es la matriz identidad, que son la construcción de objetos que son más que sólo números enteros, aunque, como un sub-anillo, que son estructuralmente idénticos a los números enteros.

En respuesta a tu pregunta: usted puede agregar $1$ a sí mismo en cada anillo. Usted puede seguir en la creación de nuevos elementos, en cuyo caso usted tiene un sub-anillo que parece de $\mathbb{Z}$, o puede que finalmente alcanzó los us $0$, en el que caso de que usted tiene un sub-anillo que parece de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, de los enteros modulo $n$. La naturaleza exacta de la sub-anillo de construir es una propiedad importante de el anillo en sí.

De nuevo, es importante tener en cuenta que a pesar de que, como un sub-anillo, este puede aparecer a ser de $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, estos elementos pueden interactuar de diversas maneras con el resto del anillo. Usted debe tener cuidado para evitar la trampa de convencerte a ti mismo de que el elemento de $2 dólares en un anillo debe actuar en una muy manera ordinaria, simplemente porque $2$ parece tan ordinario en $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, $2$ es primo en $\mathbb{Z}$, pero no es la prime en los enteros de Gauss, que contienen una copia de $\mathbb{Z}$.

Answer 3

Voy a asumir que todos los anillos unital.

Cada anillo contiene un canónica homomórfica copia de los números enteros; más precisamente, no hay una única morfismos de $\mathbb Z\a R$ para cualquier anillo $R$, donde "morfismos" significa un mapa de $f\colon \mathbb Z\a R$ con $f(x+y) = f(x) + f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ y $f(1_\mathbb Z) = 1_R$.

Sin embargo, este mapa puede no ser inyectiva; por ejemplo, el anillo $(\mathbb Z/3)[x]$ contiene los enteros $\{\dotsc, -1, 0, 1, 2, 3, \dotsc\}$, pero tenemos $-1 = 2,\, 0 = 3, \puntos de dólares en este anillo.

Answer 4

Su observación es muy bonito! De hecho, el anillo $R$ es cerrado bajo la adición (y, más en general) se resta así:

$1\en R$ (si $R$ es unital, que estamos en lo sucesivo asuma sin más mención)

$2=1+1\in R$

$3=1+1+1\en R$

$\cdots$

$n=1+\cdots+1\en R$ ($1$ es $añadieron$ n veces con la misma para cada entero positivo de $n$).

Del mismo modo, $- $ n, el inverso aditivo de $n$, es un elemento de $R$ para todos los enteros positivos $n$. Por lo tanto, tenemos un mapa de $\mathbb{Z}\a R$ (el entero $n$ se asigna al elemento denotado por $$ n $R$). Sin embargo, aquí está el truco: este mapa no tiene que ser inyectiva. Así, no podemos decir en general que $R$ contiene todos los enteros. Lo que puede suceder es que los diferentes números enteros $n$ y $m$ puede ser igual en $R$.

Por ejemplo, un anillo se dice que tiene la característica de $n$ si $n$ es el menor entero positivo tal que $1+\cdots+1$ ($$n veces) es igual a $0$. El anillo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es el ejemplo más simple de un anillo de carácter $n$, pero hay otros. En un anillo de la característica de $n$, enteros que se diferencian por $n$ se igualan. Si no hay tales entero más pequeño $n$ que $1+\cdots+1$ ($$n veces) es igual a $0$, entonces el anillo característico $0$.

Ejercicio 1: Demostrar que este mapa de $\mathbb{Z}\a R$ es un anillo homomorphism. Si $R$ carácter $0$, entonces demostrar que este mapa es inyectiva. ¿Cuál es el núcleo de este mapa si $R$ carácter $n$?

Ejercicio 2: Demostrar que este anillo homomorphism $\mathbb{Z}\a R$ es único.

Ejercicio 3: Si $a$ es un anillo de tal manera que no existe un único anillo homomorphism $A\a R$ para todos los anillos de $R$, entonces demostrar que $\mathbb{Z}\cong$.

En el lenguaje de la categoría de teoría, podemos decir que $\mathbb{Z}$ es el objeto inicial en la categoría de (unital) los anillos.

Ejercicio 4: Vamos a $R$ ser un anillo. Demostrar que existe un único más pequeño sub-anillo de $R$; a esto le llamamos el mínimo sub-anillo de $R$. ¿Qué puede hacer este mínimo sub-anillo? (Sugerencia: este mínimo sub-anillo de $R$ dependerá de la característica de $R$ y sólo hay countably muchas posibilidades; use el Ejercicio 1 y el primer teorema de isomorfismo.)

Ejercicio 5: Vamos a $R$ integrante de dominio. Demostrar que la característica de $R$ es un número primo.

Ejercicio 6: Como una aplicación de esta teoría, demostrar el siguiente: sea $F$ ser un campo finito. Demostrar que la cardinalidad de $F$ es una fuente primaria de energía. (Sugerencia: use el Ejercicio 5 y el hecho de que $F$ es un espacio vectorial sobre su mínima sub-anillo. En este caso, la minimización de la sub-anillo de $F$ es también el mínimo de subcampo $F$.)

Espero que esto ayude!

Answer 5

Hay que tener en cuenta que un anillo no tiene que consta de números enteros a todos, y por lo tanto, mientras que un anillo debe contener una identidad que nos indican por $1$, un inverso aditivo que podemos denotar por $-1$, y por lo tanto todos los elementos de la forma $1+1+1+1+\cdots +1$ (cualquier finito suma de $1$ a sí mismo), que podemos denotar por $n$, y del mismo modo todos los elementos que podemos denotar por $- $ n, la corteza no tiene que contener ni un solo entero. De hecho, el anillo puede muy bien ser finito. Por ejemplo, el anillo de $\mathbb Z_n$, por cada $n\in \mathbb N$ es un anillo finito. Generalmente, se escribe $\mathbb Z_n=\{0,1,2,\cdots, n-1\}$, pero ninguno de estos es un entero. Estos representan las clases de equivalencia de números enteros o, si se quiere, que no son más que símbolos.