Demostrar que $\mathbb R ^n$ sin un número finito de puntos es simplemente conectado para $n\geq 3$

Question

Quiero demostrar que $\mathbb R ^n$ sin un número finito de puntos es simplemente conectado para $n\geq 3$ . Sea $X$ sea ese conjunto finito de puntos. Mi idea es demostrar esto por inducción en la cardinalidad de $X$ .

Caso base con $|X|=1$ se deduce del hecho de que $S^n$ es simplemente conectado y es un repliegue de deformación de $\mathbb R^{n+1}$ sin un punto.

Para el caso inductivo con $n\geq 2$ Quiero demostrar que hay dos planos afines paralelos distintos $P$ y $Q$ tal que:

1) ni $P$ ni $Q$ intersección $X$ ;

2) si denotamos con $A_+,A_-$ los componentes conectados de $\mathbb R^n \setminus P\cup X$ y con $B_+,B_-$ los componentes conectados de $\mathbb R^n \setminus Q\cup X$ , de tal manera que $A_+$ contiene $Q$ y $B_+$ contiene $P$ entonces $X$ se cruza con $A_-$ y $B_-$ en al menos un punto.

(Tal vez sea menos complicado demostrar que el cierre de $A_+ \cap B_+$ no contiene ningún punto de $X$ )

Entonces puedo aplicar la hipotesis inductiva, y $A_+$ y $B_-$ están simplemente conectados. Además, $A_+ \cup B_+ = \mathbb R^n \setminus X$ y $A_+ \cap B_+$ es arco-conectado, así que puedo aplicar Van Kampen.

¿Cómo puedo demostrar la existencia de esos dos planos?

Answer 1

Si te conformas con los argumentos de retracción de la deformación, puedes hacerlo más rápidamente. Poner bolas disjuntas alrededor de cada punto, y unirlas con caminos finos en algún orden. Afirmo que $\mathbb{R}^n$ menos estos puntos la deformación se retrae a los límites de estas bolas junto con estos caminos delgados; es decir, $\mathbb{R}^n$ menos $k$ puntos es equivalente en homotopía a una suma de cuñas de $k$ copias de $S^{n-1}$ .

Answer 2

Esta es una forma larga que implica una tediosa cirugía de camino.

Primero tenemos que demostrar que $Y=\mathbb{R}^n\setminus X$ es un camino conectado. Elige $x,y \in Y$ Elegir $d \neq 0$ tal que $d \bot (x-y)$ . Escoge $\lambda \in \mathbb{R}$ , $t \in [0,1]$ y que $p_\lambda(t) = x + t(y-x) + (1-|2t-1|) \lambda d$ . (Es fácil ver que $p_\lambda$ es la trayectoria poligonal $(x,{x+y \over 2}+ \lambda d, y)$ .)

Desde $x-y,d$ son linealmente independientes, es es fácil ver $p_{\lambda_1}=p_{\lambda_2}$ si $\lambda_1 = \lambda_2$ . De hecho, si $t_1, t_2 \in (0,1)$ entonces $p_{\lambda_1}(t_1) = p_{\lambda_2}(t_2)$ si $\lambda_1 = \lambda_2$ y $t_1 = t_2$ .

Cada $p_\lambda$ es un camino entre $x,y$ y como máximo $|X|$ de estos pueden cruzarse $X$ . Dado que hay un número incontable de estos caminos, hay al menos un camino que une $x,y$ por lo que el conjunto es conexo a la trayectoria y por lo tanto es conexo.

Supongamos ahora que $x_0 \in Y$ y $\gamma:[0,1] \to Y$ es una trayectoria cerrada basada en $x_0$ . Desde $Y$ está abierto, vemos que $\gamma$ es homotópica a una trayectoria poligonal cerrada en $Y$ también con sede en $x_0$ . Por lo tanto, podemos tomar $\gamma$ ser poligonales, es decir, líneas rectas que unen un número finito de puntos $x_0=\gamma_0,...,\gamma_m = x_0$ .

Consideremos ahora la colección finita de puntos $A=\{\gamma_k\} \cup X$ . Elige un hiperplano $H$ de paso $x_0$ tal que las proyecciones ortogonales sobre $H$ de la puntos en $A$ son distintos. (Sólo hay un número finito de orientaciones del hiperplano tales que dos puntos en $A$ proyecto al mismo punto). Dejemos que $\Pi$ sea el operador de proyección ortogonal (proyecta sobre el subespacio paralelo a $H$ ), y que $h$ sea la normal del hiperplano.

Desde $Y$ está abierto, vemos que $B(x_0,\epsilon) \subset Y$ para algunos $\epsilon>0$ . Sea $H_\eta = H+ \{ \eta h\}$ . Al elegir $\eta$ suficientemente pequeño, podemos desplazar el hiperplano de tal manera que intersecte $B(x_0,\epsilon)$ pero pasa por ninguno de los puntos $X$ .

Dejemos que $\phi$ sea la proyección ortogonal (afín) sobre $H_\eta$ .

Dejemos que $B= \{ y | \Pi y = \Pi x \text{ for some } x \in X \}$ (un conjunto finito de líneas perpendiculares a $H_\eta$ ). Por construcción, ninguno de los puntos $\gamma_k$ mienten en $B$ pero es posible que algún segmento $[\gamma_i, \gamma_{i+1}]$ se cruza con $B$ .

Supongamos que un segmento $[\gamma_i, \gamma_{i+1}]$ se cruza con $B$ . Elige una dirección $d$ que es perpendicular a $\gamma_{i+1}-\gamma_{i}$ y $h$ (aquí es donde $n\ge 3$ viene). Como en el caso anterior, defina $p_\lambda(t) = \gamma_i + t(\gamma_{i+1}-\gamma_{i}) + (1-|2t-1|) \lambda d$ , y que $N= \{ \lambda | p_\lambda([\gamma_i, \gamma_{i+1}]) \cap B \neq \emptyset \}$ . Tenga en cuenta que $N$ es finito, por lo que existe algún $\delta>0$ tal que $p_\lambda([\gamma_i, \gamma_{i+1}])$ no se cruza con $B$ para $\lambda \in (0,\delta]$ . Por lo tanto, $p_\lambda([\gamma_i, \gamma_{i+1}])$ no se cruza con $X$ para $\lambda \in [0,\delta]$ . Por lo tanto, podemos modificar continuamente la trayectoria $\gamma$ añadiendo el punto ${\gamma_i +\gamma_{i+1} \over 2}+ \delta d$ mientras permanece en $Y$ . Repita este proceso para todos los segmentos que se cruzan $B$ . Por lo tanto, el original es homotópico en $Y$ a una curva que no se cruza $B$ .

Los puntos $x_0, \phi(x_0)$ están en $B(x_0,\epsilon)$ y como la bola es convexa, podemos ver que la curva modificada es homotópica en $Y$ a la misma curva con los puntos $x_0, \phi(x_0)$ preestablecido (es decir, los puntos de la ruta son $x_0, \phi(x_0), x_0=\gamma_0, ...$ ). De manera similar, añada los puntos $\phi(x_0), x_0$ hasta el final del camino.

La ruta modificada tiene el siguiente aspecto $x_0, \phi(x_0), \gamma_1, ...,\gamma_n, \phi(x_0), x_0$ (el $\gamma_i$ son los puntos modificados).

Ahora considere el mapa $\theta_t(x) =(1-t)x+ t \phi(x)$ aplicar el mapa al parte de la curva $\phi(x_0), \gamma_1, ...,\gamma_n, \phi(x_0)$ . Por lo tanto, el camino modificado es homotópico en $Y$ a la ruta $x_0, \phi(x_0), \phi(\gamma_1), ...,\phi(\gamma_n), \phi(x_0), x_0$ y ya que los puntos $\phi(x_0), \phi(\gamma_1), ...,\phi(\gamma_n), \phi(x_0)$ yacen en el conjunto convexo $H_\eta \subset Y$ la curva es homotópica a la curva $x_0, \phi(x_0), x_0$ y como la bola es convexa, esta curva es homotópica en $Y$ a la curva constante $t \mapsto x_0$ .

Answer 3

En realidad, el primer comentario sobre mi pregunta me ayudó a encontrar una solución sencilla.

La prueba es por inducción en $|X|$

Si $|X|=1$ entonces WLOG podemos suponer $X=\{0\}$ Entonces $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ se deforma en $S^{n-1}$ que simplemente se conecta para $n\geq 3$ .

Si la tesis es cierta para $|X|<k$ demostremos que la tesis es cierta para $|X|=k$ . WLOG, podemos suponer que $X=\{p_1 ,..., p_k\}$ con $(p_i)_1\leq (p_{i+1})_1$ (si $x\in \mathbb R^n$ entonces, por definición $(x)_1$ es la primera coordenada de $x$ con respecto a la base canónica). Podemos suponer también que existe $i$ tal que $(p_i)_1<(p_{i+1})_1$ . No hay pérdida de generalidad porque $k\geq 2$ por lo que hay al menos dos puntos de $X$ que tienen coordenadas distintas. Definir entonces $\delta = \frac {(p_{i+1})_1 - (p_{i})_1}{3}$ y el nombre $A$ el conjunto abierto de puntos tal que la primera coordenada es $>(p_{i+1})_1 - 2\delta$ y $B$ el conjunto abierto de puntos tal que la primera coordenada es $<(p_i)_1 +2\delta$ . Entonces $A$ y $B$ son homeomórficos a $\mathbb R ^n$ y $A$ y $B$ ambos se cruzan $X$ en menos de $k$ puntos. Entonces, por hipotesis inductiva, $A\setminus X$ y $B\setminus X$ son ambos simplemente conectados; además, $A\cap B = A\setminus X \cap B\setminus X =$ un conjunto convexo, y $A\cup B \setminus X = \mathbb R ^n \setminus X$ . Entonces podemos aplicar a Van Kampen.

Answer 4

La definición de simplemente conectado sólo requiere un grupo fundamental trivial junto con la conexión de caminos. El argumento para ambos casos es intuitivamente el mismo, sólo hay que utilizar una dimensión extra para rodear los agujeros.

Si resulta que la línea recta entre dos puntos pasa por un agujero, corta la línea antes y después del agujero y añade un semicírculo alrededor. Inductivamente, esto da un camino entre dos puntos cualesquiera en el espacio deseado.

Para la trivialidad de las clases de bucle, considere localmente alrededor de uno de los agujeros. Ajustar un plano al mayor segmento del bucle posible y si el agujero es coplanario, homotecia en cualquier dirección "normal" (relativa al plano) para dar la vuelta. Induce el número de agujeros y eso debería ser todo. Esto no es muy riguroso, pero probablemente se puede parametrizar si uno se esfuerza lo suficiente.