Número al exponente dividido por el valor del exponente

Question

¿Alguien puede explicar incluso cómo resolver esto?

$$\dfrac{5^x}{x} = 79.85957$$

Sé que la respuesta es $x = 3.5$ pero, ¿cómo se normaliza la ecuación para que la x esté en un lado?

Answer 1

Vea aquí una problema relacionado . Podemos resolver la ecuación en términos de la función W de Lambert,

$$ \frac{5^x}{x}=c \Rightarrow \frac{ {\rm e}^{x \ln(5)} }{x} = c \Rightarrow \frac{ {\rm e}^{z } }{z} = \frac{c}{\ln(5)}\,, $$

donde $z=x\ln(5)$ . La última ecuación tiene la solución $$ z= -\operatorname{LambertW} \left( -{\frac {\ln \left( 5 \right) }{c}} \right) \,,$$

donde la función W de Lambert es la solución de la ecuación $ y{\rm e}^{y}=x \,. $

Sustituyendo $z = x \ln(5)$ y $c=79.85957$ da las dos soluciones reales

$$ x_1 = -\frac{1}{\ln(5)} \operatorname{LambertW}_{-1} \left( -{\frac {\ln \left( 5 \right) }{79.85957}} \right) = 3.499999994 $$ y

$$ x_2 = -\frac{1}{\ln(5)}\operatorname{LambertW}_{0} \left( -{\frac {\ln \left( 5 \right) }{79.85957}} \right) = 0.01278225404 \,. $$