Subsanables en funciones

Question

Una función continua $\alpha: [a,b] \to \mathbb{R}^k$ se llama una curva. Para cada partición $P = \{t_0<t_1<....<t_n=b\}$, definir $l(\alpha, P) = \sum_{i=1}^n \left|\alpha(t_i) - \alpha(t_{i-1})\right|$.

Deje $l(\alpha) = \sup\{l(\alpha, P): P \text{ partitions } [a,b]\}$

Si $l(\alpha) < \infty$, $\alpha$ se llama subsanables.

a) Deje $c < a < b < d.$ Supongamos $\alpha'$ es continua en a $(c,d)$ para algunos curva de $\alpha: [c,d] \to \mathbb{R}^k$. Muestran que la restricción $\alpha|_{[a,b]}$ $\alpha$ $[a,b]$es subsanables con $l(\alpha|_{[a,b]}) = \int_a^b \left|\alpha'(t)\right|\, dt$.

b) Vamos a $c < a < b < d.$ Supongamos $f: (c,d) \to \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable. Deje $\alpha: [a,b] \to \mathbb{R}^2$ ser dado por $\alpha(t) = (t,f(t))$. Encontrar $l(\alpha)$ en términos de $f$.

He aquí lo que tengo hasta ahora.

a) podemos utilizar la de Cauchy-Schwarz desigualdad, seguro de cómo ponerlo en práctica, y no está seguro de qué más podemos invocar b) Si $f$ es continuamente diferenciable, puedo hablar de la convergencia uniforme, ¿servirá de algo? Yo estoy pegado en esto.

Answer 1

Estoy ampliando mi respuesta original; así que ya no es una sugerencia nada más.

La desigualdad de $l(\alpha)\leq\int_a^b|\alpha'(t)|dt\ $ es fácil: se $$|\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1})| = \Bigl |\int_{t_{i-1}}^{t_i} \alpha'(t)dt \Bigr| \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i} |\alpha'(t)|dt \ ,$$ y por la suma obtenemos $$l(\alpha,P)\leq \int_a^b |\alpha'(t)|dt\ .$$ Como esto es cierto para todas las particiones $P$ la desigualdad de la siguiente manera.

En el otro sentido, un truco es necesaria. Supongamos que un $\epsilon>0$ dado y asumir que la partición $P$ es lo suficientemente fina para garantizar la $|\alpha'(t)-\alpha'(t')|<\epsilon$ dentro de cada subinterval. A continuación, para cada una de las $i$ uno tiene $$\int_{t_{i-1}}^{t_i}|\alpha'(t)|dt=|\alpha'(\tau)|(t_i-t_{i-1}) =\Bigl|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\alpha'(\tau) dt\Bigr| \leq \Bigl|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\alpha'(t) dt\Bigr| +\epsilon(t_i-t_{i-1})\ ,$$ donde $\tau$ es un cierto ${\it fixed}$ de los puntos en el intervalo de $[t_{i-1},t_i]$. Suma más de $i$ tenemos $$\int_a^b|\alpha'(t)|dt\leq l(\alpha, P)+\epsilon(b-a)\leq l(\alpha)+\epsilon (b-a)\ .$$ Como $\epsilon>0$ era arbitraria, llegamos a la conclusión de $\int_a^b|\alpha'(t)|dt\leq l(\alpha)\ .$