Cuña de producto $S^1 \vee S^2$

Question

Estoy tratando de calcular $\pi_1(S^1 \vee S^2$) de Van Kampen. Sé Hatcher tiene una solución, pero tengo que comprobar si mi planteamiento es correcto y riguroso. He visto un post anterior sobre este tema, pero estoy usando un tipo diferente de la descomposición de la $X=S^1 \vee S^2$, así que por favor tengan paciencia conmigo.

Deje $z$ ser el punto en común (punto de la cuña). Deje $x_0$ ser otro punto en $S^2$, e $x_1$ ser otro punto en $S^1$.

A continuación, vamos a $Q=X\backslash x_0$, e $P=X\backslash x_1$.

Claramente, $X=Q\cup P$, e $Q,P$ ambos abiertos.

Ahora, $\pi_1(Q)=\mathbb Z$, desde el perforado de la esfera es homeomórficos a $R^2$, que def. se retrae hasta el punto de $z$ y nos quedamos sólo con $S^1$.

Del mismo modo, $\pi_1(P)$ es trivial, ya que punza $S^1$ def. se retrae a $z$, y nos quedamos con $S^2$, que es simplemente conectado.

También, $\pi_1(P\cap Q)$ es de cuña de perforado esfera con perforado círculo, ambos de los cuales def. retraer a $z$, y, por tanto, la cuña está simplemente conectado.

Así que, ahora Van Kampen, obtenemos que $\pi_1(P\cup Q)$ es isomorfo a $\pi_1(P)_{*\pi_1(P\cap Q)}\pi_1(Q)$, sólo $\mathbb Z$.

Es esto una prueba de rigrous? He hecho algunas suposiciones que no han sido justificados?

Answer 1

Es correcto, incluso la intuición nos sugiere que en este caso el único tipo de rutas que no están en la misma clase de equivalencia de la trivial es uno de los caminos alrededor de $S^1$. Y por otra parte no es importante que se mueven alrededor de la esfera, porque puedo homotopically retractarse de moverse sólo alrededor del círculo si se mueven a su alrededor.

si el hecho de que usted acaba de solicitar una más general corolario de Van Kampfen que es

$\pi_1(X \vee Y)$ es el grupo con los generadores de la unión de los generadores de $\pi_1(X)$ $\pi_1(Y)$ y con las relaciones de la unión de las relaciones de los dos grupos

la prueba es fácil, sólo tienes que elegir los dos se abre $X$, $Y$ y la intersección simplemente conectado barrio de el punto de la cuña