En $\mathbb{R}^n$, bajo las definiciones más estrictas posibles, no hay diferencia entre un vector y un vector de coordenadas en la base estándar. Esto se debe a que $\mathbb{R}^n$ está definido como $n$-uplas de números reales, y las coordenadas de un vector en un espacio vectorial real de $n$ dimensiones están definidas como una $n$-upla de números reales. En la base estándar, que utiliza los siguientes vectores reales (no coordenadas): $$\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix} \qquad \cdots \qquad \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix} \qquad $$
Por lo tanto, el $k^\text{avo}$ elemento de un vector de coordenadas de base estándar para un vector real en $\mathbb{R}^n$ es precisamente el $k^\text{avo}$ elemento del vector (una $n$-upla, que es real).
Entonces, en un nivel puramente conjuntista, estos dos objetos son fundamental y precisamente el mismo objeto.
En espacios vectoriales generales, los vectores pueden ser más extraños. No sé cuánta experiencia tienes con espacios vectoriales, pero pueden definirse de manera muy abstracta. Por ejemplo, los polinomios con coeficientes complejos de grado menor que $n$ forman un espacio vectorial real, donde la adición y la multiplicación por escalar actúan de la manera en que piensas que lo hacen. Y este es uno de los espacios vectoriales más normales... solo se ponen más extraños a partir de ahí.
Pero sabemos (cuando digo "nosotros" me refiero a la comunidad matemática, no esperaría que personalmente estés consciente) que cualquier espacio vectorial real de dimensión finita (EVRDF) es ''básicamente lo mismo que'' algún espacio euclidiano. Precisamente, los dos espacios vectoriales son isomorfos, o con igual precisión pero con palabras más lineales-álgébricas, existe una transformación lineal biyectiva de cualquier EVRDF a un espacio euclidiano. Y como te podrás imaginar, listas de números son más fáciles de entender que las cosas locas que habitan la mayoría de los espacios vectoriales, por eso nos interesan las coordenadas en primer lugar.
Por lo tanto, porque la distinción entre las dos formas de pensamiento es tan útil en prácticamente cualquier otro espacio vectorial, normalmente trasladamos esas ideas a $\mathbb{R}^n$. En el proceso, te das cuenta de que un cambio de base puede describirse bien de esta manera. Por lo tanto, incluso en $\mathbb{R}^n$ hay una diferencia entre un vector real y un vector de coordenadas, donde las coordenadas se derivan de cualquier base excepto la base estándar.
La dualidad en la definición tiene una implicación relativamente significativa para tu pregunta. Ambos tipos de vectores tienen una interpretación geométrica, pero los pensamos de maneras muy diferentes.
La forma más fácil de entender son los vectores de coordenadas. Aquí, puedes elegir un origen arbitrario, y luego usar los vectores de la base para "enrejar" el espacio. A partir de ahí, usas los vectores de coordenadas para marcar las marcas en esa rejilla para encontrar la ubicación de los puntos correspondientes a cada uno de los vectores, ¡y voilà, geometría!
Pero puede que notes algo un poco extraño acerca de esa construcción: tienes que colocar los vectores de la base allí, pero si no tienes una rejilla ya en su lugar, ¿cómo es posible? La respuesta es que marcamos los vectores de la base usando sus vectores reales. Pero los vectores reales son listas de números. Entonces, de hecho, $\mathbb{R}^n$ realmente viene con una base que es en cierto sentido ''correcta'', por eso la base estándar tiene ese nombre.
Por lo tanto, un vector real se traza exactamente de la misma manera que un vector de coordenadas, excepto que luego olvidas que los ejes estaban allí. En este sentido, el estudio de los vectores reales en oposición a sus contrapartes de coordenadas más fáciles de usar se llama a veces libre de coordenadas.
Para ser claro, la base estándar es, por lo tanto, fundamentalmente diferente de otras bases. Para ser lindo al respecto, no puedes comprar un $\mathbb{R}^n$ para tu escritorio de oficina sin una base estándar preinstalada. Pero solo necesitamos la base estándar para ayudarnos a definir el objeto real que es el espacio euclidiano. Una vez que el espacio está ahí, puedes elegir los elementos que son la base bajo consideración sin saber cómo fueron creados.
Esto se dice a menudo de la siguiente manera: Los vectores de coordenadas requieren ejes, y los vectores reales no. Pero recuerda, dado que los vectores reales y los vectores de coordenadas son en realidad lo mismo en la base estándar, esta verdad es un poco incorrecta. Espero que esta explicación te ayude a comprender los puntos más finos de esta distinción.
(En la imagen que nos has mostrado, no se puede determinar qué tipos de vectores se están utilizando porque se usa la base estándar. Pero las líneas punteadas parecen sugerir que el ilustrador, al menos, estaba pensando en los vectores de coordenadas. La pista más grande es el hecho de que los ejes todavía están ahí en la imagen, y no solo te dan tres flechas y te dicen qué vectores representan. Pero esto es más probablemente una consideración pedagógica que algo sustancial)
