Cómo solucionar $e^{ix} = i$

Question

Estoy tomando un curso en línea y la siguiente tarea problema se planteó: $$e^{ix} = i$$ no tengo idea de cómo resolver este problema. Nunca he tratado con la solución de ecuaciones que tienen imaginaria. ¿Cuáles son los pasos para resolver este tipo de ecuaciones? Estoy familiarizado con la serie de Taylor y la fórmula de Euler si que es cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Así, dices que no estás de acuerdo con la fórmula de Euler: $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),$$ and it should be clear that (for real numbers $a,b,c,d$), we have $$a+bi=c+di\quad\iff\quad a=c\;\text{ and }\;b=d.$$ Es así, que los valores de $x$ va a satisfacer $$\cos(x)+\sin(x)i=0+1i\quad ?$$

Answer 2

$$e^{ix} = i$$ La fórmula de Euler: $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),$$ así: $$\cos x+i\sin x = 0+1\cdot i$$ comparar las partes real e imaginaria $$\sin x =1$$ and $$\cos x =0$$ $$x=\dfrac{(4n+1)\pi}{2}\;\;,n \in \mathbb W$$ (W representa el conjunto de número entero $W=${$0,1,2,3,.......,n$}).

Answer 3

Así, el sentido geométrico de $e^{ix}$ es el arma aquí para usar.

Esto no es nada, pero el punto en el plano complejo, que tiene una longitud de $1$ y el ángulo de $x$ medido a partir de la mitad derecha del eje real, en radianes. De modo que $e^{i\pi}=-1$, por ejemplo.

Answer 4

Un enfoque completamente diferente:

$$ e^{i\pi} = -1 \implies \sqrt {e^{i\pi}} = \sqrt {-1} \implies e^{\frac{i\pi}{2}} = i $$

Answer 5

$$ e^{ix} = i \implies ix =\ln(i) \implies ix= \ln(|i|)-i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) $$

$$ \implies x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}. $$