Hay una serie de números cuyo cuadrado es otro de Fibonacci?

Question

Introducción

Todos estamos familiarizados con la secuencia de Fibonacci:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 \ldots$

Yo estaba jugando un poco en un trozo de papel y se llegó a la conclusión de que no hay ningún número de la secuencia que cuando elevado a la potencia de dos, se convierte en otro número que contiene la secuencia-a excepción de la de $1^2$ sin embargo, pero vamos a dejar que fuera de él.

La investigación

Aunque se me ocurrió que probablemente no es el número de la secuencia que tiene esta capacidad que la de la $1$, no sé cómo probar o refutar esto.

Por otra parte

Mientras yo probablemente podría escribir una aplicación para recuperar la respuesta para mí, estoy más interesado en una solución matemática. Debería la gente inteligente se demuestra que no tienen una gran solución, tal vez alguien puede me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Deje $n>1$. A continuación, $F_n\mid F_m$ si y sólo si $n\mid m$. (Asumiendo que se empiece a $F_0=0,F_1=1$.)

Esto es debido a que podemos llegar, de manera inductiva, $F_{n+k}\equiv F_{n+1}F_k\pmod{F_n}$, e $F_{n+1}$ $F_{n}$ son relativamente primos.

Pero usted puede usar Demoivre la fórmula para mostrar que, para $n\geq 2$ que $F_n^2<F_{2n}$.

Específicamente, con $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\rho = \frac{-1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ tenemos que:

$$F_{n}=\frac 1{\sqrt{5}}\left(\phi^n-\rho^n\right)$$

Y $F_{2n}=F_n\left(\phi^n+\rho^n\right)$. Por lo que necesita para la nieve que $\phi^{n}+\rho^n >\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\rho^n)$ o $$(\sqrt{5}-1)\phi^n>-(\sqrt{5}+1)\rho^n$$

Answer 2

no riguroso, pero tal vez fácil de entender prueba:

Asumir un número $x$ existe $x > 1, a < x,$ a continuación, la secuencia va con, $a, x, x+a, 2x+a, 3x+2a, 5x+3a, ...$

aviso de los coeficientes de la expresión lineal en la secuencia de Fibonacci. Así que

$ax + (x-a)a,$
$x^2 + a^2 $

están uno al lado del otro en la secuencia.

Pero $ax + (x-a)a = x^2 - (x-a)^2 < x^2,$ y en la próxima $> x^2$. por lo $x^2$ no está en la secuencia.

Answer 3

El trabajo de Ryan Y del enfoque:

Tenga en cuenta que tenemos $F_{2n-1} = F_{n-1}^2+F_n^2$; por lo tanto, sabemos que $F_{2n-1}\gt F_n^2$ mientras $F_{n-1}^2\gt 0$, lo que va a pasar por todos los $n\gt 1$.

Pero también tenemos $F_{2n-2} = 2F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2$, y por lo $F_n^2\gt F_{2n-2}$ mientras $F_n^2-F_{2n-2}\gt 0$ — o, en otras palabras, $F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2\gt 0$ o $(F_n-F_{n-1})^2\gt 0$. Y para esto es siempre $F_n\gt F_{n-1}$, en el que se celebrará tan pronto como $n\gt 2$.

Por lo tanto, hemos explícitamente que $F_{2n-2}\lt F_n^2\lt F_{2n-1}$ todos los $n\gt 2$.

(Estas doblando las identidades son clásicos, y hay muchas maneras de derivar de ellos; yo prefiero la matriz enfoque basado visto en esta respuesta porque es muy general, y casi de inmediato se generaliza aún más a otros recurrencia lineal de secuencias.)