¿Existe alguna función continua que satisfaga las siguientes condiciones?

Question

¿Existe alguna función continua $y=f(x)$ en $[0,1]$ que satisfaga las siguientes condiciones? $$ f(0) = f(1) = 0, $$ y $$ f(a)^2-f(2a)f(b)+f(b)^2<0, $$ para algunos $0<a<b<1$ .

He intentado probar con varias funciones (con diferentes $a,b$ ) pero ninguno de ellos está satisfecho.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Todo lo que tienes que hacer es elegir los números $a,b$ para que $0\lt a\lt 2a\lt b\lt1$ (o $0\lt a\lt b\lt2a\lt1$ ), entonces encuentra números $y_1,y_2,y_3$ satisfaciendo $y_1^2-y_2y_3+y_3^2\lt0,$ y luego construir una función continua (por ejemplo, un polinomio de cuarto grado) $f(x)$ con $f(0)=f(1)=0,\ f(a)=y_1,\ f(2a)=y_2,\ f(b)=y_3.$ Por ejemplo:

$$f(x)=x(x-1)(4x-1)(8x-7),\ a=\frac14,\ b=\frac34$$

Answer 2

Lo que quieres es una función que tenga un pico alto alrededor de $x=2a$ . Y tienes que hacer cumplir las condiciones que $f(0)=f(1)=0$ para ello se puede poner un factor de $x(1-x)$ .

Por lo tanto, intente

$$ f(x) = x(1-x)e^{-20(x-\frac12)^2} $$ con $a=\frac14$ y $b=\frac34$ .

Allí, $$f(a)^2 - f(2a)f(b) + f(b)^2 \approx -0.00766 <0$$