Mostrar que un abrir lineal mapa entre la normativa de los espacios es surjective.

Question

Deje $X,Y$ ser normativa espacios y $T:X\to Y$ abierto es lineal mapa. Mostrar que $T$ es surjective.

Con el fin de mostrar $T$ es surjective echemos $y_0\in Y$ y asumir que, al contrario,$Tx\neq y_0\forall x\in X$.

Ahora tomando la $x_0\in X\implies Tx_0\neq y$.

También se $T(B(x_0,r))$ está abierto. $X=\cup_{n\in \Bbb N}B(x_0,n)\implies T(X)\subset \cup_{n\in \Bbb N} T(B(x_0,n))$.

Soy incapaz de encontrar alguna contradicción.Puede alguien amablemente ayuda?

Answer 1

Visualmente:

$T$ mapas de $B_1(0)_X$ a un conjunto abierto que contiene a $0$, debido a $0=T(0)$. Esto significa que la imagen de $T$ contiene algunos $\epsilon$ bola de $0$: $B_\epsilon(0)_Y\subseteq T(B_1(0)_X)$. Si este golpe de la bola hasta que cubra todo el espacio de $Y$. La linealidad significa que cada punto en el volado de la bola en $Y$ tiene una pre-imagen en el volado de la bola en $X$.

La escritura de la última frase, más concretamente, para cada $y\in Y$ que $\frac\epsilon{2\|y\|} y$ se encuentra en $B_\epsilon(0)_Y$, por lo que debe ser la imagen de alguna $x$$B_1(0)$.

De la siguiente manera: $$T\left(\frac{2\|y\|}\epsilon\, x\right)=\frac{2\|y\|}\epsilon T(x)=\frac{2\|y\|}\epsilon\frac\epsilon{2\|y\|}y=y$$

Y $y$ se encuentra en la imagen de $T$.

Answer 2

Desde $T$ es abierto y lineal, sabemos que $T(X)\subset Y$ debe ser un subespacio lineal. El único subespacio es todo de $Y$. Para ver esto último vamos a $y_0\not\in T(X)$. A continuación,$y_0\neq 0$. Elija $a_n\in\mathbb{R}$$a_n\rightarrow 0$. Desde $T(X)$ es un subespacio e $y_0\not\in T(X)$ $a_ny_0\not\in T(X)$ todos los $n$. Pero $a_ny_0\rightarrow 0$ (aquí nos referimos a el vector cero en $Y$.)

Para ello $Y\setminus T(X)$ no está cerrado, contradiciendo ese $T(X)$ está abierto.