Funciones continuas definir una topología?

Question

El WP artículo de topología general tiene una sección titulada "la Definición de topologías a través de funciones continuas", que dice,

dado un conjunto S, especificando el conjunto de funciones continuas $S \rightarrow X$ en todos los espacios topológicos X define una topología [S].

La primera cosa que me molesta acerca de esto fue que claramente esta colección de funciones continuas es una clase, no un conjunto. Hay una forma de reparar esta declaración, por lo que, literalmente, tiene sentido, y si es así, ¿cómo se podría ir sobre la prueba?

La misma sección del artículo tiene esto:

para una función f de un conjunto S de un espacio topológico, la topología inicial en S tiene como abrir los subconjuntos de S aquellos subconjuntos para el cual f(A) es abierto en X.

Esto me confunde, porque parece que esto no tiene por qué definir una topología. Por ejemplo, sea S un conjunto con dos elementos, y sea f una función que toma estos elementos, a dos puntos en la recta real. Entonces f(S) no está abierto, lo que significa que S no es un conjunto abierto en S, sino que viola uno de los axiomas de un espacio topológico. Solo estoy siendo estúpido porque no he tenido el café esta mañana?

Answer 1

La primera afirmación puede ser reparado utilizando las funciones en el Espacio de Sierpinski $\{0,1\}$ con topología $\{\varnothing , \{1\}, \{0,1\}\}$. Puesto que una función continua $X \to \{0,1\}$ puede ser identificado con el conjunto abierto $f^{-1}(1)$ vemos que las funciones continuas en el espacio de Sierpinski son la misma cosa, como el abierto de subconjuntos de a $X$.

Answer 2

Su primera pregunta es fácil de abordar. Sí, en la cara de ella, hay una clase adecuada de este tipo de mapas. Sin embargo, podemos restringir la atención a los espacios topológicos $X$ que tiene cardinalidad no mayor de $S$, ya que puede dejar fuera de la parte de un espacio que no esté en la imagen de $f$. Hasta homeomorphism, no sólo se ponen en muchos de esos $X$ (específicamente, $2^{2^{\vert S\vert}}$-en muchos más). Y para cada espacio específico $X$, no sólo se ponen en muchos de los mapas de$S$$X$.

Por cierto, no es todavía un resto de la sutileza: en realidad la selección de un conjunto de "suficiente destino de los espacios". Esto es potencialmente un problema, ya que cada homeomorphism tipo contiene una clase adecuada de los espacios! Esto puede ser manejado sin incluso con la posibilidad de elección. - señalando que cada una de estas homeomorphism tipo tiene un representante de rango en la jerarquía acumulativa sentido) $\le\kappa+3$ donde $\vert X\vert+\aleph_0\le \kappa$ (esto es realmente enorme exageración, pero bueno); y la clase de todos los espacios topológicos de un acotado rango es un conjunto.

EDIT: Daron la respuesta da una mucho más pulido manera de abordar el problema. Sin embargo, vale la pena comprender la fuerza bruta enfoque de arriba, ya que el tipo de razonamiento es útil también en otros contextos donde tenemos que lidiar con un aparente adecuado clase de objetos.

Re: tu segunda pregunta, sí, es un error fundamental. Se debe ir de otra manera: se toma la preimagen de abrir conjuntos en el espacio de destino. Específicamente, la topología inducida por $f$ $$\{A\subseteq S: A=f^{-1}(U)\mbox{ for some $U$ open in the target space}\}.$$ The discrepancy, of course, is due to the fact that $f\circ f^{-1}(U)\subseteq U$, pero estos conjuntos no son iguales en general.