Cuando se hace la "segunda annihilator" de un (principal) ideal de la igualdad de la ideal en sí

Question

Supongamos que $R$ es un (local) del anillo y $r\in R$. ¿Cuándo las ecuaciones $\operatorname{Ann}_R(\operatorname{Ann}_R(r))=Rr$ o $\sqrt{\operatorname{Ann}_R(\operatorname{Ann}_R(r))}=\sqrt{Rr}$?

Ya sé que para Artinian Gorenstein anillos (debido a un ejercicio de Bruns-Herzog) y parece ser cierto para $R=\Bbb {Z}/n\Bbb {Z}$. La pregunta es más interesante cuando vamos a suponer también que $\operatorname{Ann}_R(r)\in \operatorname{Ass}(R)$.

Answer 1

Estoy abordar la pregunta del título. $l(X)$ denota una izquierda annihilator, $r(X)$ denota un derecho annihilator.

Un anillo se llama derecho de P-inyectiva si $l(r(a))=Ra$ todos los $a\in R$. Usted puede encontrar esta condición se discuten en detalle en Nicholson y Yousif del Cuasi-Frobenius anillos en la página 96.

Como el nombre sugiere tipo de, derecho de auto-inyectiva anillos también a la derecha P-inyectiva. Desde $\Bbb Z/(n)$ es cuasi-Frobenius (por tanto, auto-inyectiva) para cada $n\ge2$, que es la razón por la que tiene en su ejemplo. Para conmutativa local anillos, cuasi-Frobenius anillos son exactamente cero-dimensional Gorenstein anillos.

Cada von-Neumann regular anillo (no tiene que ser conmutativa) está a la izquierda y a la derecha P-inyectiva, así que le da una muy amplia clase de (no Noetherian) ejemplos así.