El volumen de la primera cohomology de la aritmética compleja

Question

Deje $K$ ser un campo de número y considerar la Arithmentic compleja $\Gamma_{Ar}(1)^\bullet$ ser definido por

$$\begin{array} A\Bbb R^{r_1+r_2} & \stackrel{\Sigma}{\longrightarrow} & \Bbb R \\ \uparrow{l(\cdot)=\Pi\log |\sigma_i(\cdot)|} & & \uparrow{-\Sigma \log|\mathfrak p_i|^{-z_i}} \\ K^* & \stackrel{\operatorname{val}}{\longrightarrow} & \oplus_\mathfrak p\Bbb Z \end{array} $$

La flecha hacia la izquierda que va hacia arriba es el mismo mapa que aparece en la prueba de la unidad teorema. La flecha inferior lleva la valoración en todos los no-archimedian lugares y la flecha superior es la suma de las coordenadas. Finalmente la flecha de la derecha es el negativo de la suma de los logaritmos de la norma de los números primos a la potencia que es igual a la negativa de coordinar en $\oplus_\mathfrak p\Bbb Z$. Por ejemplo, para $K=\Bbb Q$, un elemento $(1,2,-3,0,0,0,0,...)\in\oplus_\mathfrak p\Bbb Z$ se asignan a $-(log(2) +log(3^2)+log(5^{-3}))$.

Este diagrama anticommutes y nos da un complejo

$$K^*\to\Bbb R^{r_1+r_2} \times \oplus_\mathfrak p\Bbb Z \to \Bbb R$$

Su segundo cohomology es cero, debido a que el segundo mapa es surjective, y su cero cohomology es el grupo de unidades (por la unidad teorema).

Por otro lado, $H^1(\Gamma_{Ar}(1))=\frac {\Bbb R^{r_1+r_2-1}}{l(\mathcal O_K^{\,*})}\times Cl_K$ porque podemos cociente de la $\oplus_\mathfrak p\Bbb Z$ factor por $K^*$ obtener $Cl_K$ y, a continuación, nos damos cuenta de que a la que cada elemento $i$ de los ideales del grupo de clase corresponde un hyperplane en $\Bbb R^{r_1+r_2}$ tal que $\Bbb R^{r_1+r_2}\times i \mapsto 0$. Por último, comentar que el núcleo de este mapa es $O_K^{\,*}$.

Por lo tanto, tenemos que $\operatorname{vol}(H^\bullet(\Gamma_{Ar}(1))):=\frac{\det H^1}{\det H^0 \otimes \det H^2}=\frac{h_K\cdot R}{w_K}$ donde $R$ es el regulador. Dado que el volumen de un complejo (como se define solamente) es el mismo que el volumen de su cohomology, conseguimos que los $\frac{h_K\cdot R}{w_K}$ es también el volumen de la aritmética compleja.

Ahora la expresión de $\frac{\det H^1}{\det H^0 \otimes \det H^2}$ es muy similar a $\mu \left(K^* \backslash \Bbb A^{(1)}_K\right)$ desde $\Bbb A_K^{(1)}$ el núcleo del mapa $\Gamma_{Ar}(1)^1\to\Gamma_{Ar}(1)^2$. Lo que busco es como se consigue que los factores de $2^{r_1+r_2}$ en los siguientes

$$\mu \left(K^* \backslash \Bbb A^{(1)}_K\right) = 2^{r_1+r_2}\frac {h_K\cdot R}{w_K}$$

Bueno, eso es lo que debería obtener de jugar con las ecuaciones siguientes, aunque en mis notas tengo que debería ser $\mu \left(K^* \backslash \Bbb A^{(1)}_K\right) = 2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\frac {h_K\cdot R}{w_k\sqrt{|D_K|}}$.

Otros relevantes fórmulas: $$\begin{aligned}\xi_K(s) &= \zeta_K(s) |D_K|^{s/2}\left(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\right)^{r_1}\left(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\right)^{r_2}\\ &=\Psi(s)+\Psi(1-s)+\mu\left(K^* \backslash \Bbb A^{(1)}_K\right)\left(\frac{1}{s-1}-\frac 1 s\right)\end{aligned}$$ donde $\Psi$ es analítica en $s$.

Answer 1

Deje $U:=\prod_{\mathfrak p\in \Sigma_{K,0}} \mathcal O_\mathfrak p$ ser el producto de la valoración de los anillos para todos los que no son de arquímedes valoraciones. A continuación,$\Bbb A^*/U = \Bbb R_*^{r_1} \times \Bbb C_*^{r_2}\times \bigoplus_\mathfrak p \Bbb Z$. El multiplicativo medida en $\Bbb R$$\Bbb C$$\frac {dx}{x}$$\frac {1}{\pi}d\theta\frac{dr}{r}$. (El $\frac 1 \pi$ proviene del hecho de que tengo que ser coherente con la medida que he usado en $\Bbb C_*$ cuando me calculadas $\Gamma_\Bbb C=\int \phi_\Bbb C(t) ||t||^sd\mu(t)$.

Ahora, considere el mapa de $\Psi: \Bbb A^{(1)}_K \to \Gamma_{Ar}(1)^1 = \Bbb R^{r_1+r_2} \times \bigoplus_\mathfrak p \Bbb Z$, sólo $\log |x_i|$ en el primer $r_1+r_2$ argumentos. El $\log$ convierte la medida de $\frac {dr}{r}$ a la medida habitual en $\Bbb R$,$dx$. Pero te retiras de la medida por dos cada vez que toma el valor absoluto. Así que recoger el factor de $2^{r_1+r_2}$.