Hay un comprobante de la siguiente propiedad:
Deje $p$ ser un número primo. El número de invertible elementos en $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$(p-1)p^{n-1}$.
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Foobaz John
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Un elemento $\overline{a}$ (donde $0\leq a \leq n-1)$ de el anillo de $\mathbb{Z}/n$ es invertible, precisamente cuando $a$ es coprime a $n$ por un resultado estándar de primaria de la teoría de números. El número de enteros positivos menores o iguales a $n$ cuales son coprime a $n$ está dada por euler-phi función.
Por lo tanto, es suficiente para calcular los $\varphi(p^n)$. Se puede demostrar que los $\varphi(p^n)=(p-1)p^{n-1}$ señalando que los únicos enteros positivos menores o iguales a $p^n$ que no coprime son múltiplos de $p$ es decir $kp$$k=1,\dotsc, p^{n-1}$. Por lo tanto $$\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}=(p-1)p^{n-1}.$$
ervx
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106
Deje $G=\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$.
Lema. Para $a,n\in\mathbb{N}$, $ax\pmod{m}=1$ tiene una solución si y sólo si $\gcd(a,m)=1$.
Prueba. $ab\pmod{m}=1\iff m\mid ab-1\iff\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $mk=ab-1\iff1=a(b)+m(-k)\iff\gcd(a,m)=1$.//
Ahora, por nuestro lema sabemos que el invertible elementos en $G$ son precisamente aquellos que son relativamente primos a $p^{n}$. Si usted está familiarizado con la de Euler-totient función, entonces usted sabe que el número de tales elementos es $\varphi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}=(p-1)p^{n-1}$.
