Conjunto transitivo ordenado por epsilon

Question

Este problema es de aquí

Definición) Un conjunto t se llama transitivo si cada elemento de cada elemento de t es a su vez un elemento de t, o equivalentemente, si cada elemento de t es un subconjunto de t. Se dice que un conjunto t está ordenado por epsilon si para cualesquiera dos elementos x e y de t, o bien x y o bien x = y o bien y x

5. Sean x e y conjuntos transitivos, cada uno ordenado por epsilon.

(a) Demostrar mediante fundamentos que si y - x Ø, entonces x y y. [Pista: Sea z un elemento épsilon-minimal de y - x, y demuestre que z = x y].

(b) Demuestre que, o bien x y, o bien x = y, o bien y x. [Sugerencia: Una prueba así de (a) muestra también que si x - y Ø, entonces x y x]

¿Puede haber dos conjuntos distintos, cada uno con exactamente cuatro elementos, cada uno ambos transitivos y ordenados por epsilon?

Estoy resolviendo (a), y he descubierto que $z\subseteq x \cap y$ . (Dejemos $w$ sea un elemento de $z$ Entonces, como $z \in y$ implica $z \subseteq y$ , $w$ es un elemento de $y$ . Si $w$ no está en $x$ entonces $w \in z \cap (y-x)$ una contradicción. Por lo tanto, $w \in x$ y $z\subseteq x$ Por lo tanto $z \subseteq x \cap y$ .)

Pero no sé cómo demostrarlo $z=x \cap y$ . ¿Está bien el problema? Si tomo $x$ sea un conjunto vacío, entonces la conclusión es $\emptyset \in y$ lo que parece ser falso.

Editar Gracias a las pistas, he resuelto (a),(b) y además creo que un conjunto de exactamente cuatro elementos, ambos transitivos y ordenados por épsilon es único: Obviamente $4=\{ 0,1,2,3 \}$ es uno. Dejemos que $y$ ser otro. Si $4\in y$ entonces $0,1,2,3,4 \in y$ una contradicción. Si $y \in 4$ entonces $y$ es uno de $0,1,2,3$ que no tienen 4 elementos, una contradicción.

También he descubierto que todo conjunto transitivo (no vacío) tiene el conjunto vacío: Si $x$ es un conjunto transitivo no vacío, entonces $y \cap x = \emptyset$ para algunos $y\in x$ . Si $z\in y$ entonces $z \in x$ una contradicción. Por lo tanto, la $\in $ -elemento mínimo de $x$ debe ser el conjunto vacío.

Entonces mi pregunta: ¿Todo conjunto transitivo ordenado por epsilon es un ordinal?

Answer 1

Una pista: (para (a)) Debemos demostrar que cada elemento $w$ de $x \cap y$ es un elemento de $z$ . Demuestre que los supuestos $w = z$ y $z \in w$ ambos conducen a contradicciones, y luego utilizan el hecho de que $y$ está ordenado por $\in$ .

Una pista: (para (b)) Si $x \neq y$ entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer $y \setminus x \neq \emptyset$ . Aplicando (a) tenemos que $x \cap y \in y$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $x \cap y = x$ . Tenga en cuenta que $x \cap y$ es transitivo y está ordenado en $\in$ . Si $x \cap y \neq x$ utilice (a) para demostrar que $x \cap y \in x$ . Una contradicción (a la Fundación) te está mirando ahora.

Answer 2

¿Cómo se define un ordinal? A menudo los ordinales se definen como conjuntos transitivos bien ordenados por $\in$ se conocen como los ordinales de von Neumann.

Sin embargo, $\in$ está bien fundado, tan bien ordenado por $\in$ equivale a estar ordenado [linealmente] por $\in$ .

Así que sí, todo conjunto transitivo que esté ordenado por $\in$ es un ordinal de von Neumann, y viceversa.