¿Cuál es la función de distribución de probabilidad para el producto de dos correlación variable aleatoria Gaussiana?

Question

Supongamos que tenemos par $(X,Y)\sim Normal([\mu_x,\mu_y],{{\sigma_x^2\atop\rho \sigma_x\sigma_y } {\rho \sigma_x\sigma_y \atop \sigma_y^2} }] $ Cómo es $U=X\cdot Y$ distribuido? He tratado de calcular esta sustituyendo y=u/x en el bivariado pdf normal y tomando la integral(de $-\infty$ $\infty$con respecto a x. Encontrar el pdf de U como la suma de dos distribuciones exponenciales(uno para U<0 y uno para U>0) que son ponderados de manera desigual. Es mi método válido, o tengo que tratar con funciones de distribución acumulativa lugar?

Answer 1

Arkadiusz da la respuesta en el caso de dos Gaussianas independientes. Una técnica simple para reducir la correlación caso la correlación es diagonalize el sistema. La intuición que yo uso es que para dos variables aleatorias, se necesitan dos "independiente de las corrientes de aleatoriedad," que luego se mezcla para obtener el derecho de correlación de la estructura.

Deje $X \sim N(0,\sigma_x)$ y deje $Z \sim N(0,1)$ ser dos independientes de las normales. Definir

$Y = \tfrac{\rho \sigma_y}{\sigma_x}X + \sqrt{1-\rho^2}\sigma_y Z$.

Compruebe que $\mathbb E Y^2 = \sigma_y^2$$\mathbb E XY = \rho \sigma_x \sigma_y$; esto determina completamente la bivariante de Gauss caso de que usted está interesado en.

Ahora, $XY = \tfrac{\rho \sigma_y}{\sigma_x} X^2 + \sqrt{1-\rho^2}\sigma_y XZ$. El $X^2$ parte tiene un $\chi^2$-distribución, familiar a las estadísticas de los estudiantes; el $XZ$ parte se compone de dos Gaussianas independientes, por lo tanto Arkadiusz la respuesta que da la distribución de la variable aleatoria.

Edit: Como Robert Israel señala en los comentarios, yo cometí un error en mi conclusión final: las variables aleatorias $X^2$ $XZ$ no están correlacionados, aunque ciertamente no es independiente. Sin embargo, el problema es esencialmente resuelto en este punto, ya que hemos reducido el problema de la comprensión del producto $XY$ a una suma de variables aleatorias correlacionadas $X^2$ $XZ$ con conocidas distribuciones.

Answer 2

Parece que no hay forma cerrada de expresión es conocida por la correlación caso.

Para el caso no $\rho=0$ la distribución de XY es $\frac{1}{\pi \sigma_x \sigma_y}K_0(\frac{|u|}{\sigma_x \sigma_y})$ donde $K_0(x)$ es la función Bessel modificada de segunda clase. Esta distribución difiere de la distribución de la que dio (que es la distribución de Laplace?). Una diferencia notable: tiene la curtosis de 6 (más agudo pico), en comparación con 3 de Laplace de distribución.

Normal De La Distribución Del Producto

En la Función de Frecuencia de xy. C. Craig, 1936

Edit: respondiendo a la segunda pregunta, el método es válido, pero mi conjetura es que el determinante Jacobiano se ha omitido, mientras que hacer la sustitución.

Answer 3

LaGatta la respuesta de los clavos, y puede ser útil para la elaboración de simulaciones, etc.

Esto es sólo una nota para recordarle que si sólo se está interesado en la media del producto de normalmente distribuidas (posiblemente correlacionadas) variables aleatorias, entonces la respuesta es sencilla, el uso de la identidad de $\operatorname{E}XY= \operatorname{Cov}(X,Y) + (\operatorname{E}X)(\operatorname{E}Y)$.