Morfismos de $k$-esquemas que están de acuerdo en $\overline{k}$-puntos.

Question

Deje $k$ ser un campo y $X,Y$ dos finito de tipo $k$ esquemas que $X$ es geométricamente reducido.

Deje $f,g : X \to Y$ dos morfismos de $k$-los esquemas que la inducida por morfismos : $X(\overline{k}) \to Y(\overline{k})$ son iguales. ¿Cómo hace uno para mostrar que $f = g$. Hay una pista diciendo que se puede reducir a esto para el caso en que $X$ es afín y $Y = \mathbb{A}^1_k$$k = \overline{k}$.

He no han podido demostrar la pista ni el resultado asumiendo la pista, así que estaría muy agradecido por la ayuda o referencia. (esta no es la tarea)

También me gustaría saber lo que va mal con este al $X$ no es geométricamente reducido.

Answer 1

Desde $f=g$ fib $f_{\overline{k}}=g_{\overline{k}}$ después del cambio de base, podemos suponer que la $k=\overline{k}$. Esto significa que $k$ es algebraiically cerrado y que $f,g : X \to Y$ está de acuerdo en todos racional, es decir, cerrado puntos. Estos son densos. De ello se desprende que el subyacente a los mapas de $f$ $g$ está de acuerdo, si $X$ es separado (creo que necesitamos esta suposición). Estamos a la izquierda para mostrar que la gavilla homomorphisms $f^\#,g^\#$ son iguales, es decir, que $f^\#(s)=g^\#(s)$ para todos los locales de las secciones de $s \in \mathcal{O}_Y(V)$. Mediante la visualización de $s$ como morfismos $\mathbb{A}^1 \to V$ y hacer un cambio de base de a $\mathbb{A}^1$, podemos suponer que la $Y=\mathbb{A}^1$. Por lo tanto, hemos de probar:

Si $X$ es una reducción de la finitos tipo $k$-esquema y $s,t$ son globales secciones de $X$ tal que $s(x)=t(x) \in k$ todos los $x \in X(k)$,$s=t$. Considerando $s-t$ asumimos $t=0$. Trabajando localmente podemos suponer que la $X$ es afín, decir $X=\mathrm{Spec}(A)$. A continuación, $s \in A$ es un elemento que está contenida en todos los máximos ideales de la $A$, es decir, en todo el primer ideales de $A$ (desde $A$ es jacobson). Desde $A$ es reducido, obtenemos $s=0$.

Answer 2

Aquí hay un ejemplo que muestra por qué "geométricamente reducido", es necesario que el resultado de mantener.

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo y considerar la $k$-álgebra de dos números de $k[\epsilon]=k[T]/(T^2)$. Deje $X=Y=\operatorname {Spec}(k[\epsilon ])$ y considerar los dos $k$-morfismos $f=Id, g:X\to X$ correspondiente a la $k$-álgebra morfismos $\phi=Id, \gamma:k[\epsilon]\to k[\epsilon]$ donde$Id(\epsilon)=(\epsilon)$$\gamma(\epsilon)=0$.
Los morfismos $f=Id, g$ son diferentes desde $\phi=Id, \gamma$ son diferentes.
Sin embargo, la inducida por morfismos $f(k)=Id(k),g(k):X(k)=k\to X(k)=k$ son ambos iguales a la identidad de $k$.