Lo que está mal con este argumento de que el intervalo cerrado [0, 1] no es compacto?

Question

Soy estudiante de la licenciatura de ingeniería.

Estoy estudiando análisis real con el libro de texto 'de la Medida y la Integral' por Wheeden y Zygmund.

Este libro define compacto como el siguiente:

$E$ es compacto si toda cubierta abierta de a $E$ tiene un número finito de subcover.

Por la definición de $[0, 1]$ no es compacto.

Sin embargo, por la de Heine-Borel teorema, $[0, 1]$ es compacto.

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Permítanme demostrar por qué es $[0, 1]$ no es compacto por la definición.

De acuerdo a la definición, es suficiente para demostrar una cubierta abierta de a $E$ tener una infinita subcover.

Si $C=\{U_\alpha:\alpha\in \mathbb{N}\}$ es una familia indizada de conjuntos de $\displaystyle U_\alpha=\left(-1+\frac{1}{n}, 2\right)$, a continuación, $C$ es un cover de $[0, 1]$ porque $\displaystyle [0,1] \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in \mathbb{N}} {\mathop U\nolimits_\alpha }$.

Esta $C$ tiene una infinidad de subcovers como $C=\{U_{2\alpha}:\alpha\in \mathbb{N}\}$

Alguien puede enseñarme lo que es mi culpa?

Answer 1

Por la definición es compacto. Incomprendido y la prueba es incorrecta.

Usted debe tratar de probar que si usted toma una arbitraria infinito cubierta de Correo, usted puede encontrar que dentro de la cubierta de un número finito de sub-cubierta. Lo que hice fue: eligió un particular infinito cubierta de Correo y, a continuación, le demostró que tiene una infinita sub-cubierta. Que no hace el trabajo aquí.

Answer 2

Su "prueba" de que está mal.

La definición dice que por cada cubierta no existe un número finito de subcover. En tu post hay un ejemplo de un infinito subcover de $\{U_\alpha\}$.

Siguiendo tu razonamiento de cada subconjunto $U$ a de un espacio topológico, no sería compacto: elija un "redundante" infinito abra la cubierta de $U$ (siempre se puede encontrar) y quitar un conjunto. Usted tiene una infinita subcover.

Answer 3

Como ha dicho en otras respuestas, incomprendido en un punto de la definición.

En realidad, es difícil demostrar que $[0,1]$ es compacto. Usted tiene que considerar arbitraria la cubierta de $[0,1]$, vamos a llamar a $\mathcal{U}$. A continuación, considere el conjunto a $A=\{x\in [0,1]$ tal que $\mathcal{U}$ tiene un número finito de subcover cubriendo $[0,x]\}$. La prueba en sí se hace en tres pasos: En primer lugar, demostrar que $A$ es no vacío. Luego de probar que sup$A\in A$. Y, por último, probar que sup$A=1$. Tal vez no parezca tan duro, pero el tercer paso no es trivial.

Answer 4

Para mostrar un conjunto no es compacto, se tiene que presentan una cubierta abierta donde cada subcover es infinito (no sólo uno). Alternativamente, usted tiene que presentan una cubierta abierta donde cada subconjunto finito no puede ser una cubierta (por lo que cada subcover, si es que existe, debe infinito).

Así, por ejemplo, $(0,1)$ no es compacto, ya que tiene el infinito cubierta $\{ (1/n, 1) : n \in \mathbb{N}\}$; pero si he de elegir cualquier subconjunto finito de que la cubierta $$\{(1/n_{0}, 1), (1/n_{1}, 1), \ldots, (1/n_{m}, 1)\},$$ y yo vamos a $$m = \sup\{n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{m}\},$$ entonces $$\bigcup \{(1/n_{0}, 1), (1/n_{1}, 1), \ldots, (1/n_{m}, 1)\} = (1/m, 1)$$ que no incluya el conjunto total $(0,1)$, por lo que mi conjunto finito no es un subcover.

Para demostrar $[0,1]$ no es compacto, tendría que mostrar del mismo modo que cada subconjunto finito de su cubierta no es un subcover; pero desde su cubierta tiene (algunos) finito subcovers (así como infinito), usted no puede hacer eso.