Demostrando que $\left(1+\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\left(1+\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)...\left(1+\frac{z_{n}}{z_{1}}\right)\in\mathbb R$

Question

Necesito demostrar que $\left(1+\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\left(1+\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)...\left(1+\frac{z_{n}}{z_{1}}\right)\in\mathbb R$ donde $|z_{1}|=|z_{2}|=...=|z_{n}|=1$.

Esto se puede hacer con relativa facilidad por la inducción, pero estoy buscando la solución más elegante.

Alguna idea?

Gracias!

Answer 1

Es muy simple: $$1+{z_k\over z_{k+1}}=z_k\ \bar z_{k+1}\Bigl(1+{\bar z_k\over \bar z_{k+1}}\Bigr)\ ,$$ y el cíclico del producto $\prod_k z_k\bar z_{k+1}$$1$.

Answer 2

Deje $z_j=\cos 2t_j+i\sin 2t_j$

Por eso, $$1+\frac{z_j}{z_k}=1+\frac{\cos 2t_j+i\sin 2t_j}{\cos 2t_k+i\sin 2t_k}$$ $$=1+\cos2(t_i-t_j)+i\sin2(t_i-t_j)=2\cos(t_i-t_j)\{\cos(t_i-t_j)+i\sin(t_i-t_j)\}=2\cos(t_i-t_j)e^{i(t_i-t_j)}$$

Poner a $i,j=1,2;2,3;\cdots;n,1,$ y de tomar el producto

$$\left(1+\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\left(1+\frac{z_{2}}{z_{3}}\right)...\left(1+\frac{z_{n}}{z_{1}}\right)=2\cos(t_n-t_1)\prod_{1\le i\le n-1}2\cos(t_i-t_{i+1})$$

Answer 3

He aquí una forma geométrica de mirarlo. Multiplicación por un número complejo puede ser considerado como una rotación por su argumento, con una escala por su módulo. Desde cada una de las $z_k$ es sobre el círculo unidad, la multiplicación por $z_k+z_{k+1}\;\;(\text{modulo}\;n;\; k=1\;$,...,$\;n)$ imparte una rotación por el promedio de los argumentos de $z_k$$z_{k+1}$, mientras que la división por $z_{k+1}$ gira hacia atrás por su argumento. La cíclico de la combinación de estas rotaciones se cancela el nulo rotación, dejando sólo un efecto de escala.