Pregunto esto porque, según la fórmula de producto de Euler, la función zeta de Riemann =(1/something), entonces, ¿cómo puede ser cero? Además, ¿cómo podría uno encontrar los ceros que están en el lado negativo y encuentran un cero en la "franja crítica", es decir, cuando la parte real de la entrada está entre 0 y 1?
Respuestas
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Dondequiera que converge, la de Riemann zeta función de $\zeta(s)$ es igual a la $p$-series - y converge sólo cuando la parte real de la $s$ es mayor que uno. El producto de Euler de forma análoga sólo converge al $\mathrm{Re}(s)>1$, por lo que el razonamiento que $\zeta=1/\text{something}\ne0$ no se aplica cuando el producto no es válida la representación de los zeta.
Por otra parte, la idea es errónea por sí mismo: el "$\text{something}$" es un infinito de producto, así que si ese producto diverge a infinito en el límite, tenemos $\text{something}^{-1}\to0$. Por ejemplo, formalmente tenemos
$$0\le\frac{1}{(1+1)(1+1/2)(1+1/3)\cdots}\le\frac{1}{1+1/2+1/3+\cdots}=\frac{1}{\infty}=0.$$
En general, las propiedades (por ejemplo, las desigualdades) satisfechos por las expresiones con un número finito de términos no necesariamente lleva a un número infinito de términos (pero todavía podemos aplicar la lógica a las sumas parciales si es necesario).
Así que, si no la serie original ni el producto converge fuera el lado derecho de la $1$, ¿cómo puede ser entonces que $\zeta(s)$ puede calcularse o a la izquierda de este? La respuesta es la continuación analítica, que me dio una breve explicación introductoria a sólo recientemente. Pero entonces, precisamente, ¿cómo puede ser explícitamente izquierda extendida de $1$? El más simple, pero limitado, es a través de la Dirichlet eta función:
$$\eta(s)=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}-\cdots=\left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots\right)-2\left(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots\right)$$ $$=\zeta(s)-\frac{2}{2^s}\zeta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s).$$ La eta de la función converge para $\mathrm{Re}(s)>0$, por lo que si escribimos $\zeta(s)=(1-2^{1-s})^{-1}\eta(s)$ tenemos una forma de evaluar zeta a la izquierda de donde originalmente se podría (por $1$ a lo sumo). Continuación analítica más allá de esto requiere de la maquinaria más sofisticada - de un funcional de la ecuación estableció por primera vez por Bernhard Riemann en el papel "En el Número de números Primos Menos De una Magnitud Dada,"
$$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s).$$ Esto significa que lo $\zeta$ evalúa a la izquierda de la $s=1/2$ está determinado por su evaluación sobre el mismo punto, que se refleja en $s=1/2$. Con esto y con el $\eta$ continuación nos da la posibilidad de calcular $\zeta$ cualquier lugar que nos gusta. Tenga en cuenta que con la presencia de la $\sin$ anterior, es trivialmente cierto que $s=-2n$ son ceros de $\zeta$ $n=1,2,3,\dots$ por otra parte, desde la $\zeta(s)$ no tiene ceros a la derecha de $\mathrm{Re}(s)=1$, el funcional de la ecuación predice que no tiene ningún otro que no sea trivial ceros a la izquierda de $\mathrm{Re}(s)=0$: esto significa que todos los ceros no triviales de la mentira en la crítica de la tira.
La Hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales tienen parte real $1/2$, pero no se ha demostrado - sin embargo, podemos calcular los ceros a la exactitud y probar cuando ceros tienen parte real exactamente la mitad, a ver esta pregunta vinculada por J. M.
Como una nota al margen, mientras que el de Euler producto no convergen a nivel mundial, creo que el producto de Hadamard (a través de la factorización de Weierstrass) ¿a nivel mundial convergen - ver mi comentario anterior.
zyx
Puntos
20965
Inferencias acerca de la ubicación de los ceros o polos de una función a partir de una fórmula de producto son válidos sólo en una región donde el producto converge a la función.
La función constante $f(x)=1$ no tiene ceros o polos, pero se puede escribir como un producto
$$f(x) = (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})\dots$$
que superficialmente predice los ceros de $f(x)$, y los polos de $1/f(x)$, en todos los $2^n$-th raíces de la unidad. La fórmula tiene por $|x|<1$, por lo que no hay ninguna contradicción.
Para $\zeta(s)$ la no-trivial de ceros se sabe que existen sólo a través de Riemann explícito de la fórmula y cálculos en la línea de $s=1/2$. No sé si hay algún otro argumento de por qué los ceros que debe de existir con parte real en $(0,1)$, excepto por analogía con otros tipos de funciones zeta (que no existen en Riemann, de momento).
