Multicelular de cantidades de caracteres de Dirichlet sobre los números primos

Question

De nuevo en relación con algunas cosas estoy leyendo actualmente, los autores hacen uso de la siguiente "norma argumento en el primer número de la teoría":

Deje $\chi$ ser un no-director de Dirichlet-personaje. Entonces $$\sum_{y< p \leq x} \chi(p)\overline{\chi(p)}=\frac{x}{\log(x)}+ o\left(\frac{x}{\log(x)}\right),$$ al $x\to\infty$ donde $p$ ejecuta a través de los números primos. Esta expresión mucho recuerda a la de Polya la desigualdad más el uso de algunos caracteres de ortogonalidad, pero no veo cómo "restringir" la suma de sólo números primos.

Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera punto a la forma en cómo esta se deriva. Como de costumbre, las referencias son más que bienvenidos!

Answer 1

Deje $m$ ser el conductor de $\chi$, $\omega(m)$ su número de primos divisores y $q$ el más grande de la primer división - entonces, para $x\ge q$ la suma es, precisamente,$\pi(x)-\omega(m)$, debido a $|\chi|^2$ siempre es $1$ o $0$, y es sólo el último de los números que comparten los mismos divisores con $m$. El único de los números primos que comparten los mismos divisores con $m$ son los que dividen, y hay $\omega(m)$ de las personas (una cantidad finita), por lo que todos los demás números primos contribuirá exactamente $1$ a la suma total. Esto significa que $\sum\sim x/\log x$ por el teorema de los números primos, que le da identidad.