¿Es toda secuencia convergente la suma de una secuencia constante y una secuencia nula?

Question

Sea $a_n$ una sucesión que converge a $a$ cuando $n \to \infty.

¿Puedes reescribir $a_n$ de manera que sea la suma de otras dos sucesiones? $$a_n=b_n + c_n,$$ con $b_n=b$ para cada $n \in \mathbb{N}$ y $c_n\to 0$ cuando $n\to \infty$.

En otras palabras: ¿Es una sucesión convergente ($a_n$) en realidad una sucesión nula ($c_n$) "desplazada" por una constante ($b$)?

¿O hay algún contraejemplo donde no se permita hacerlo?

Answer 1

Sea $b_n = a$ y $c_n = a_n - a$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Entonces $a_n = b_n + c_n$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $c_n = a_n - a \to a-a = 0$ para $n \to \infty.

Answer 2

Sí, puedes hacer eso. Simplemente toma $b_n=a,c_n=a_n-a$. Por las propiedades básicas de los límites $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-a)=(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n)-a=a-a=0$$

Answer 3

Sea $(a_n)$ una sucesión que tiende hacia $a$ y definamos las siguientes sucesiones: $$\forall n\in\mathbb{N},b_n:=a,c_n:=a_n-a.$$ Uno tiene: $$\forall n\in\mathbb{N},a_n=b_n+c_n$$ y $(c_n)$ está convergiendo hacia $0$.

Answer 4

Para una constante $b$, cualquier número $a$ (ya sea término de una secuencia o no) puede escribirse como $a = b + c$ donde $c = a - b$, por lo que cualquier secuencia $\{a_n\}$ puede escribirse como $\{b + c_n\}$ donde $c_n = a_n - b$ y en particular si $\lim a_n = a$ entonces la secuencia puede escribirse como $\{a + c_n\}$ donde $c_n = a_n - a$. Y claramente $\lim \{a_n\} = \lim \{a + c_n\} = a$.

Entonces tu pregunta se reduce a ¿$\lim\{b + c_n\} = b + \lim\{c_n\}$? Y por lo tanto, si $b = a = \lim a_n$ ¿$\lim c_n = 0$.

Esto debería ser una proposición básica al inicio del estudio de secuencias convergentes y la respuesta es: sí.

$|a - a_n| = |(a -b) - (a_n - b)| = |(a - b) - c_n|$. Así que cualquier cosa que puedas decir sobre $a$ y $a_n$ en términos de $\epsilon$, $N$, $n > N$ también se puede decir sobre $(a-b)$ y $c_n$.

Entonces si $c_n = a_n - b$ entonces $\{a_n\} \rightarrow a \iff \{c_n\} \rightarrow (a - b)$.

Answer 5

Se permite sumar, restar, multiplicar o dividir todos los términos de una sucesión convergente por una constante, y se obtiene otra sucesión convergente que converge a $L+C, L-C, L\cdot C, L/C$. $C/L$ también funciona, siempre y cuando la secuencia original no tenga ceros.

En tu caso, si $a_n\to a$, entonces $c_n:=a_n-a\to 0$ y $c_n+a\to a$. También puedes tener $c_n+b\to a$, siempre y cuando $c_n:=a_n-b$, y luego $c_n\to a-b.