$\int_0^\infty \frac{1}{1+x^ 9} \, dx$

Question

$\int_0^\infty \frac{1}{1+x^9} \, dx$

Traté de tomar la integral de $\Gamma_R = [0,R] \cup \gamma_R \cup I_R$, donde vemos que \gamma_R es el círculo parametrizadas por $z = Re^{it}$$t\in[0,\frac{\pi}{2}]$. Y $I_R$ es el formulario de la línea de $iR$ $0$

uno puede darse cuenta de las siguientes tres cosas:

1) $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^ 9}\,dz$ = $\int_0^\infty \frac{1}{1+z^ 9}\,dz$. (Tenga en cuenta que $z$ es en el $x$-eje)

2) $\int_{\gamma_R}\frac{1}{1+z^ 9} = 0$. (Por el ML de la desigualdad)

el principal problema es cuando me parametrizar $I^{-}_{R}$$z(x) = xi$$x \in [0,R]$. El principal problema es que me sale que:

3) $\int_{I_R}\frac{1}{1+z^9} = -\int_{I_R^-}\frac{1}{1+z^9} = -\int_{0}^{R} \frac{i}{ix^9 + 1}$.

tenga en cuenta que quiero trabajar hacia la toma de $R$ hasta el infinito el tiempo y, a continuación, igual a la suma de las integrales a la suma de los residuos de $\Gamma_R$ veces $2\pi i$. El principal problema aquí es que mi plazo en 3), no se parece a la forma $c \cdot \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^ 9}$ con c un valor constante. Si puedo hacer esto creo que he terminado.

PS: Los puntos singulares llegué a donde $e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{3 \pi i}{9}}$.

Answer 1

Hay una forma más sencilla, utilizando la función de #% de %#% de Euler:

1) cambiar la variable de $B$ $x$. Obtendrás $y=x^9$.

2) hacer un segundo cambio de variables: $\frac 1 9 \int \limits _0 ^\infty \frac {y^{- \frac 8 9}} {1+y} \mathbb{d}y$; obtendrás $t=\frac y {1+y}$, $\frac 1 9 \int \limits _0 ^1 t^{- \frac 8 9} (1-t)^ {- \frac 1 9} \mathbb{d}t$.

3) utilizando por último, que $\frac 1 9 B(\frac 1 9, \frac 8 9)$ y $B(x,y)=\frac {\Gamma(x) \Gamma(y)} {\Gamma(x+y)}$, usted conseguirá $\Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac \pi {\sin( \pi x)}$.

Answer 2

Vamos a resolver... un problem...$$\int_0^{\infty} {1 \over {1+x^p}} dx$$ más difícil dejar $u=x^p$ %#% $ de #% la definición de la Beta función es... $$\int_0^{\infty} {1 \over {1+x^p}} dx={1 \over p} \int_0^{\infty} {u^{{1 \over p}-1} \over {1+u}} du$ Nota la semejanza llamativa y por consiguiente evaluar... $$B(p,q)=\int_0^{\infty} {{t^{n-1} \over ({t+1})^{p+q}} dt}$ $ Utilice la relación de la función Beta con la función Gamma para obtener... $${1 \over p} \cdot B \left({1 \over p},1-{1 \over p} \right)$ $

Uso reflexión fórmula % de Euler $${1 \over p} \cdot B \left({1 \over p},1-{1 \over p} \right)={1 \over p} \cdot {{\Gamma \left({1 \over p} \right) \cdot \Gamma \left(1-{1 \over p} \right)} \over {\Gamma (1)}}$. ... Debe llegar en... % $ $\Gamma (x) \cdot \Gamma (1-x)= \pi \csc(\pi x)$$$\int_0^{\infty} {1 \over {1+x^p}} dx={\pi \over p} \cdot \csc \left( {\pi \over p }\right)$$p=9$$