Composición de $n^4+4^n$

Question

Mi entrenador dijo que para todos los enteros positivos $n$ , $n^4+4^n$ nunca es un número primo.

Así que lo memorizamos para utilizarlo en el futuro en la competición de matemáticas. Pero no entiendo por qué es?

Answer 1

Para obtener un primo, necesitamos $n$ impar. Así que $4^n=4\cdot 4^{2k}$ para algunos $k$ y por lo tanto $4^n=4\cdot (2^k)^4$ donde $k=\frac{n-1}{2}$ .

Ahora utiliza la factorización $$x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2),$$ con $x=n$ y $y=2^{(n-1)/2}$ .

El caso $n=1$ da el primo solitario. Para todos los demás $n$ tenemos $x^2-2xy+2y^2\gt 1$ .

Observación: Es difícil juzgar si la factorización anterior es "natural". Quizás parezca más razonable si expresamos $x^4+4y^4$ como una diferencia de cuadrados: $$x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2.$$

Answer 2

Puedes trabajar $\bmod 5$ :

Como dijo Jossie, si $n$ es par, entonces ambos números son pares. Si $n$ es impar, establece $n = 5k + r$ ;

Si no es así, puede utilizar repetidamente el hecho de que para $p$ un primo y $(a, p) = 1, a^{p - 1} = 1 \pmod p$ y así $a^p = a \pmod p$ ;

en este caso, $(a, 5) = 1$ entonces $a^{4n} = 1 \pmod 5$

$0 \leq r <5$ . Entonces

$4^n + n^4 = 4^{5k + r} + r^4 \pmod 5 = 4^{5k} 4^r + r^4 = 4^{r + 1} + 1 = 4$ . $4^r + 1 = 4 + 1 = 5 \pmod 5$ .