¿Si una función es continuamente diferenciable y acotada, su derivado también limita?

Question

Dos preguntas:

1. Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable y acotada. ¿Se limita así su derivado $f'$?

2. ¿Qué sucede en el caso de $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, donde $f$ es continuamente diferenciable y su derivado total $f'$?

Gracias de antemano.

Answer 1

No, por ejemplo, $\sin (x^2){}{}{}{}$.

Answer 2

Una estrictamente creciente ejemplo: Definir $g:\mathbb R_{\geq 0}\to\mathbb R_{\geq 0}$ por $$g(x)=\begin{cases} n^4x-n^5+n &\text{if }n-\frac{1}{n^3}\leq x+1\leq n\\ n+n^5-n^4x &\text{if }n\leq x+1\leq n+\frac{1}{n^3}\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}$$ que intuitivamente es sólo una función continua que es $0$ en casi todas partes, pero tiene muy altos y estrechos picos en cada número natural. Tenga en cuenta que $g(n-1)=n$, lo $g$ es ilimitado, sin embargo, $$\int_0^\infty g(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{1}{n^3}=\frac{\pi^2}{6}$$ que es finito. Definir $f:\mathbb R\to\mathbb R$ por $$f(x)=\begin{cases} \arctan x+\int_0^x g(y)dy &\text{if } x\geq 0\\ \arctan x-\int_0^{-x} g(y)dy &\text{if } x\leq 0\\ \end{casos} $$ que es continuamente diferenciable, limitada y estrictamente creciente. Puesto que la derivada de $\arctan x$ es acotado, la derivada de $f$ difiere de $g$ por una limitada función, por lo que debe ser ilimitado.