Cuando se hace lo contrario a Schur del Lema?

Question

Vamos a $R$ ser un anillo conmutativo, vamos a $A$ ser $I$-álgebra, y dejar $M$ ser $Un$-módulo. Si $M$ es simple, luego Terminar de$_{A-mod}(M)$ es un anillo de división.

Un uso común es cuando $R$ es el complejo de números de $\mathbb{C}$ y $M$ es tal que el Extremo de$_{A-mod}(M)$ es finito dimensionales. A continuación, Final de$_{A-mod}(M) = \mathbb{C}$.

Bajo qué circunstancias (sobre $I$ y/o $$) es a la inversa cierto, que el endomorfismo anillo de ser un anillo de división, o de ser sólo $R$ sí misma, implica que $M$ es simple?

Answer 1

Este CSL ("conversar de Schur el Lema") en la condición de un anillo es en realidad un tema de interés en el anillo de la teoría últimamente. Básicamente, esto significa que aún no hay ninguna respuesta simple a la pregunta. Pero hay algunos avances interesantes hacia respuestas parciales. Por ejemplo, un reciente artículo de G. Marcas y M. Schmidmeier muestra que el recíproco de Schur del Lema mantiene en la categoría de derecho R-módulos de longitud finita si y solo si todas las extensiones de simple derecho de R-módulos están divididos. Esto vale, en particular, a través de cualquier anillo conmutativo.

Los autores también muestran que un semiprimary anillo R (es decir, R tiene un nilpotent Jacobson radical J y R/J es semisimple) satisface CSL en la derecha si y sólo si todas las extensiones de simple derecho de R-módulos están divididos, si y sólo si R es finito, producto directo de la matriz de anillos locales de los anillos. (Ejemplos de semiprimary anillos de incluir una cara artinian anillos, tales como finito dimensionales álgebras sobre los campos.)

El mismo diario cita un número de otras fuentes si usted está interesado en explorar más a fondo el tema. Por ejemplo, hay referencias para la siguiente resultado, similar a la anterior: Un solo lado noetherian anillo tiene CSL en la derecha si y sólo si es finito, producto directo de la matriz de anillos locales perfecto anillos (que debe ser una cara noetherian, por tanto, a una cara artinian).

Answer 2

Supongo que usted está permitiendo que Un ser no-conmutativa. En este caso, las cosas pueden ir mal en todo tipo de formas. Por ejemplo, todos los Verma módulos tienen endomorphisms dada por $\mathbb{C}$, pero las cargas de aquellos que no son simples. En realidad, todos los objetos estándar más alto en cada categoría de peso ha endomorphisms dada por la división de álgebra.

Otro buen ejemplo es que si se mira la trayectoria de álgebra de un diagrama de Dynkin, todos indecomposible módulos tienen endomorphisms dada por el campo base. Por Gabriel del teorema, simples son en bijection con simple raíces, indecomposibles están en bijection con un resultado positivo de las raíces, así que hay un montón de estos.

Answer 3

Deje que $p$ ser una de las primeras, y dejar que $R(p)$ el residuo de campo en $p$. Si $R \R(p)$ no es un surjection, entonces $R(p)$ es un $R$ módulo cuyo endomorfismo anillo es de $R(p)$, pero para que la imagen de la $R$ es un buen submódulo.

Si el mapa de $R \R(p)$ es un surjection para todos los números primos, entonces al tener un campo como un endomorfismo anillo debe implicar que un módulo es simple. Porque $R/p$ es una parte integral de dominio, el mapa de $R/p \a R(p)$ debe ser un surjection sólo si $R/p$ ya era un campo; es decir, si $p$ fue máxima. Por lo tanto, $R$ ha Krull dimensión 0. Es esto suficiente para deducir que el anillo estaba semisimple (aparte de algunos finito de generación de preocupaciones)?