¿Por qué es $\pi r^2$ la superficie de un círculo

Question

¿Por qué es $\pi r^2$ la superficie de un círculo?

He aprendido esta fórmula hace años y la estoy usando como la mayoría de la gente, pero no creo que entienda realmente cómo funcionan los círculos hasta que no entienda por qué funciona esta fórmula.

Así que quiero entender por qué funciona y no sólo cómo .

Por favor, no utilice símbolos complicados.

Answer 1

La explicación más sencilla es que el área de cualquier forma tiene que estar en unidades de área, es decir, en unidades de longitud al cuadrado. En un círculo, el único "número" que lo describe es el radio $r$ (con unidades de longitud), por lo que el área debe ser proporcional a $r^2$ . Así que para alguna constante $b$ , $$A=b r^2$$

Ahora, para encontrar la constante $b$ Creo que la forma más fácil es mirar este diagrama de Wikipedia:

Esto muestra cómo cuando se subdivide el círculo en muchos triángulos pequeños iguales, el área se convierte en un rectángulo con altura $r$ y una longitud igual a la mitad de la circunferencia del círculo, que es $\pi r$ por el definición de $\pi$ .

Answer 2

Depende mucho de cómo se defina $\pi$ . Es intuitivo ver que para los círculos la relación entre el área y $r^2$ es constante, y se podría definir $\pi$ para ser esta constante.

Si, sin embargo, definió $\pi$ de la forma más habitual como la relación (también constante) entre la circunferencia y el diámetro $2r$ de los círculos, hay una manera intuitiva de ver que esta misma constante debe dar también la relación entre el área y $~r^2$ . Si se aproxima el círculo por un polígono cualquiera (no necesariamente regular), todos cuyos lados son tangentes al círculo, entonces el área del polígono será exactamente $\frac r2$ veces la circunferencia del polígono . Esto se debe a que el polígono se puede cortar en triángulos, cada uno de los cuales tiene como base un lado del polígono, y todos comparten el centro del círculo como vértice. Así, todos estos triángulos tienen la altura $~r$ y si $b$ es la base de dicho triángulo (un lado del polígono) su área es $\frac r2\times b$ .

La superficie total es entonces $\frac r2$ por la suma de las bases de los triángulos, que es la circunferencia del polígono. Ahora bien, al aumentar indefinidamente el número de lados del polígono, tanto su área como su circunferencia tienden a las del círculo. Por tanto, el área del círculo debe ser también $\frac r2$ veces su circunferencia, cuya circunferencia es $2\pi r$ por definición, y esto da un área de $~\pi r^2$ .

Me gustaría señalar que se trata de un argumento intuitivo, no formal. El punto delicado es que tanto el área como la circunferencia de los polígonos tienden a la del círculo. Para el área esto es bastante fácil de justificar, ya que la vecindad de cualquier punto fuera del círculo finalmente tampoco contribuye al área de los polígonos. Pero para la circunferencia no es evidente, ya que es posible obtener una curva como límite de un conjunto de líneas poligonales mientras las longitudes de estas últimas no tienden a la longitud de la curva . El hecho de que no sea así en este caso está relacionado con el hecho de que todos los lados del polígono tienden a ser en paralelo al arco de círculo cercano.

Answer 3

Una forma de demostrarlo es la siguiente: Incrusta un polígono regular (es decir, todos los lados son iguales, todos los ángulos son iguales) en un círculo (es decir, sus vértices están en el círculo. Dividir este polígono en $n$ triángulos dibujando radios hacia los vértices. Calcula el área de este triángulo y multiplícala por $n$ y obtendrás el área del polígono.

Ahora, si puedes asumir el siguiente límite : $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$ Entonces cuando se toma un límite como $n$ llega hasta el infinito, terminará con $\pi r^2$ .

Así que sólo queda probar la fórmula anterior :)

Answer 4

Existen varias formas de demostrarlo. En primer lugar, observe que el área tiene que ser $(\text{constant}\cdot r^2)$ porque el área de una región de cualquier forma en un plano debe ser proporcional al cuadrado de las distancias. Por ejemplo, si se multiplican todas las distancias por $3$ entonces el área se multiplica por $9$ . Y "constante" en este caso significa que es el mismo número independientemente de lo que $r$ es. Así que ahora la pregunta es: ¿Por qué la "constante" debe ser la misma que la relación entre la circunferencia y el diámetro?

Como $r$ aumenta, tenemos \begin{align} \text{rate of growth of area} & = \text{size of boundary} \times\text{rate of motion of boundary} \\ & = \text{circumference} \times \text{rate at which $r$ is changing} \\ & = 2\pi r \times \text{rate at which $r$ is changing}. \end{align} Del cálculo, recordemos que $$ \text{rate of change of $ r^2 $} = 2 r \times\text{rate of change of $ r $}. $$ Así que tenemos $$ \text{rate of growth of area} = \pi\times \text{rate of change of $ r^2 $}. $$ Así que el área crece al mismo ritmo que $\pi r^2$ crece. Eso hace que siempre sean iguales si son iguales cuando $r=0$ . Y es fácil ver que son iguales cuando $r=0$ .

Esa es sólo una forma de hacerlo; hay otras.

PS: Suponiendo que no sepamos cálculo; ¿cómo sabríamos que $$ \text{rate of change of $ r^2 $} = 2 r \times\text{rate of change of $ r $}\text{ ?} $$ Podríamos hacerlo de la siguiente manera. Un cuadrado cuyo lado tiene longitud $r$ está creciendo porque su lado norte se está moviendo hacia el norte y su lado este se está moviendo hacia el este. Entonces \begin{align} & \text{rate of growth of $r^2$} \\ = {} & \text{rate of growth of square's area} \\ = {} & \text{size of moving boundary}\times\text{rate of motion of boundary} \\ = {} & 2r \times \text{rate of change of $r$}. \end{align}

Answer 5

Mis conocimientos se basan en un vídeo eliminado (?) del Dr. James Grime en el canal de YouTube "Numberphile"

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Introducción:

Propiedades del Área(s) de un triángulo:

I. Propiedades #1-#3: II. Propiedad #4: Área constante:

Tengamos un círculo con el radio $r$ . Dividimos el circuito en dos partes iguales $d$ partes (en el mejor de los casos: partes cortas infinitesimales); ahora imaginamos un corte una vez en el centro- por lo que obtenemos una especie de ventilador de mano con un montón de cuasi triángulos. El último movimiento es usar propiedad #4 :

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También recomiendo comprobar la versión de los anillos en YouTube desde:

1. MinutePhycics

2. BYJU'S- Área de un círculo en un triángulo

3. Eddie Woo- Prueba visual rápida: Área de un círculo