Matrices de Seifert y Arf invariante--nudo de Potentilla

Question

He calculado los siguientes Seifert de la matriz para el Cinquefoil nudo:

$$ S = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1& 1 & 1\end{pmatrix}$$

También me encontré con un Seifert matriz para este nudo en la internet , pero yo todavía no sé cómo verificar la corrección de un Seifert matriz. Por lo tanto:

Pregunta 1: ¿Cómo puedo comprobar que un Seifert matriz que yo calculada es correcta?

Ahora, lo que es más importante:

Pensé que podía calcular el Arf invariante de la siguiente manera (donde $K$ mi nudo):

$$ A(K) = A(q) = q(x_1) q(x_2) + q(x_3) q(x_4) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0$$

donde$x_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, x_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , x_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$q(x) = x^T S x$.

Pero esto tiene que estar mal por las siguientes razones: 1. Suponiendo que el Seifert matriz que encontré en internet es correcto, tengo la misma Ira invariante. 2. La Ira invariante de la cinquefoil nudo es $1$. 3. "La Ira es invariante $0$ si la mayoría de las clases se han auto-vinculación de $0$, y es $1$ si la mayoría de las clases se han auto-vinculación de $1$.". (Extracto tomado de aquí). El auto de vinculación son los números de las entradas de la diagonal de la Seifert matriz como tengo entendido.)

Pregunta 2: ¿Cuál es la forma correcta de calcular el Arf invariante de un nudo de un Seifert formulario / Seifert matriz?

Answer 1

¿Qué te hace pensar que $x_i$ una forma simpléctica base para $S$? En realidad no es así. También, usted no quiere un simpléctica base para $S$ sino $I = S^T - S$.

Su Seifert matriz debe ser malo ya que si calculo la Ira invariante en el uso de la $S$ con un simpléctica base $$ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} e_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} f_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} f_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}$$ I get zero when I should be getting $1$.

El uso de la Seifert matriz vinculada, $$ S = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

y una correspondiente simpléctica base para $$ I = S^T - S = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}$$

$$ e_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} f_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} f_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}$$

los rendimientos $$ A(K) = e_1^T S e_1 e_2^T S e_2 + f_1^T S f_1 f_2^T S f_2 = 7 \equiv_2 1$$ como era de esperar.

Answer 2

Mathematica da como KnotData[] :KnotData[{5, 1}, "SeifertMatrix"]

{{-1, -1, 0, -1}, {0, -1, 0, 0}, {-1, -1, -1, -1}, {0, -1, 0, -1}}

Que está más cerca de la primera matriz de "dado". El KnotData da el arf invariante para ese nudo:

KnotData[{5, 1}, "ArfInvariant"]

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Sé que sólo da Mathematica como autoridad para las respuestas pero eso es lo mejor que puedo encontrar.