Atentamente de una baraja de cartas, donde las filas son iguales

Question

Dos jugadores barajan aleatoriamente cubiertas. Se comparan las tarjetas en orden uno a la vez, comprobar si hay una coincidencia en la fila (es decir traje no importa). ¿Cuál es la probabilidad de que no hay ninguna coincidencia?

Si el traje es importante, este problema se reduce el número de derangements de 52. Sin embargo, puesto que el juego no importa el problema es un poco diferente y parece ser más difícil de lo que puedo decir.

Answer 1

Esta respuesta por joriki a una pregunta anterior es fácilmente modificado para proporcionar una respuesta a esta pregunta. Este es un trastorno generalizado del problema, y en la notación de la respuesta que hemos $r=13$$n_i=4$$i=1,\ldots,13$. El $4$ésimo polinomio de Laguerre es

$$L_4(x)=\frac1{24}\left(x^4-16x^3+72x^2-96x+24\right)\;,$$

y el $4$ tarjetas de cada rango son distinguibles, por lo que hay

$$(4!)^{13}\int_0^\infty\big(L_4(x)\big)^{13}e^{-x}\,dx=\int_0^\infty\left(x^4-16x^3+72x^2-96x+24\right)^{13}e^{-x}\,dx$$

permutaciones que no producen un partido. De acuerdo a WolframAlpha esto da lugar a una probabilidad de

$$\frac{4,610,507,544,750,288,132,457,667,562,311,567,997,623,087,869}{52!}\approx0.016233\;.$$

Answer 2

Empecé con la solución para un caso simple, cuando hay 1 tarjetas de cada valor, es decir, 13 cartas en total, en cada cubierta. Luego de obtener alteraciones: $$ \frac{13!^2}{13!^2} - \frac{\binom{13}{1}\binom{13}{1}12!^2}{13!^2} + \frac{\binom{13}{2}\binom{13}{2}2!11!^2}{13!^2} - \frac{\binom{13}{3}\binom{13}{3}3!10!^2}{13!^2} + \ldots \\ = 1-1+\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}+\ldots = \sum_{k=2}^{13}\frac{(-1)^k}{k!} $$ No estoy seguro de que yo era capaz de extender para el caso normal con 4 cartas de cada valor. Por ejemplo, el segundo término (el primero después de $\frac{52!}{52!}$) debe ser $$ \frac{\binom{13}{1} \times \binom{52}{4}4!^2 48!^2}{52!^2} $$ es sólo aproximadamente el $\frac{1}{20000}$, que es muy pequeño, así que probablemente cometió un error en alguna parte.