¿Existe un polinomio par que tenga un término con una potencia impar?

Question

¿Existe un polinomio par (es decir $f(-x)=f(x)$ para todos $x$ ) que tiene al menos una potencia impar de $x$ ?

Answer 1

Una pista: Necesitas $f(x) - f(-x)$ para ser el polinomio cero.

Answer 2

La respuesta depende del ámbito en el que se trabaje. Por ejemplo, en un campo de la característica $2$ Todo polinomio es par. Además, sobre un campo finito $F_q$ tenemos que el polinomio $x^q - x$ es par (desaparece para todo $x\in F_q$ ) pero su $x$ tiene un coeficiente distinto de cero.

Sin embargo, sobre un campo infinito de característica $\neq 2$ todo polinomio par es un polinomio en $x^2$ . Esto se debe a que $f(x) - f(-x) = 2g(x)$ , donde $g(x)$ consiste en los poderes impar de $x$ en $f$ y por suposición $2g(x)$ desaparece para todos, y por tanto infinitos, los elementos $x$ . Así, $2g(x) = 0$ lo que implica $g(x) = 0$ (char $\neq 2$ ).

Answer 3

No. Si $p(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0$ entonces $$p(-x)=p(x)$$ $$a_0-a_1x+\cdots +(-1)^na_nx^n=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n$$ Los polinomios son idénticos exactamente cuando sus coeficientes son iguales, por lo que $$a_1=-a_1\implies a_1=0,...$$ todos los coeficientes de las potencias Impares son $0$ .

Como alternativa, utilice la inducción. Si $p$ es par, entonces $$-p'(-x)=p'(x)$$ así que $p'$ es impar, y viceversa. Demuestra que los polinomios constantes y lineales que son pares e Impares sólo tienen términos pares e Impares (respectivamente), y ya está.

Answer 4

Dividir $\,f(x)\,$ en su parte par $\,f_0(x) = \sum f_{2k} x^{2k}$ y la parte impar $\,f_1(x) = \sum f_{2k+1} x^{2k+1}$

Así, $\,f(x) = f_0(x)+ f_1(x)\ $ donde $\ f_0(-x) = f_0(x),\,$ y $\ f_1(-x) = -f_1(x)$

Así que $\ \ f(-x) = f_0(x)-f_1(x)\ $

Así que $\ \ f(-x) = f(x)\!\iff\! 2 f_1(x) = 0\!\iff\! f_1(x) = 0\ $ (suponiendo que $\,2\,$ es cancelable).

Answer 5

Respuesta alternativa. La suma de dos funciones pares es par. Por tanto, si $p$ es un polinomio par, se añaden múltiplos escalares de potencias pares de $x$ para eliminar las potencias pares en $p(x)$ . Te quedarás con un polinomio supuestamente par que sólo tiene potencias Impares de $x$ . Pero eso hace que lo que tienes sea una función impar. Así que tienes una función que es par e impar, y es fácil demostrar que tal función es la función cero. Por lo tanto, no quedaban términos Impares después de cancelar los términos pares.