Que triangulares números también son cuadrados?

Question

Estoy leyendo Stopple de Un manual de la Teoría Analítica de números:

Ejercicio 1.1.3: Que triangulares números también son cuadrados? Es decir, qué condiciones en $m$ $n$ va a garantizar que $t_n=s_m$? Mostrar que si esto sucede, entonces tenemos:

$$(2n+1)^2-8m^2=1,$$

una solución a la ecuación de Pell, que estudiaremos en más detalle en el Capítulo $11$.

Pensé acerca de lo siguiente:

$$\begin{eqnarray*} {t_n}&=&{s_n} \\ {\frac{n^2+n}{2}}&=&{m^2} \\ {n^2+n}&=&{m^2} \end{eqnarray*}$$

He resuelto para$n$$m$, pero todavía no tengo ni idea de cómo proceder. He mirado en el libro de la solución y la solución es la siguiente:

$$\begin{eqnarray*} {\frac{n(n+1)}{2}}&=&{m^2} \\ {n(n+1)}&=&{2m^2} \\ {\color{red}{4n(n+1)}}&\color{red}{=}&{\color{red}{8m^2}} \\ {4n^2+4n+1-1}&=&{8m^2} \\ {(2n+1)^2-1}&=&{8m^2} \\ \end{eqnarray*}$$

En la línea roja, se multiplica la ecuación por $4$, no entiendo por qué hacerlo ni cómo la condición se logra.

Answer 1

$$ n(n+1) = \underbrace{n^2 + n = \left(n^2+n+\frac 1 4\right) - \frac 1 4}_{\text{completar el cuadrado}} = \left( n + \frac 1 2 \right)^2 - \frac 1 4 $$

La razón de multiplicar por $4$ es así que sólo enteros aparecerá en la línea de arriba.

$$ 4n(n+1) = \underbrace{4n^2 + 4n = \left(4n^2+4n+1\right) - 1}_{\text{completar el cuadrado}} = (2n+1)^2 - 1 $$

Answer 2

Él multiplica por $4$ a fin de simplificar la condición de $\frac{n(n+1)}{2}=m^2$ a una simplificación de la condición, la participación de un término cuadrático en el lado izquierdo (ya que no hay un término cuadrático en el lado derecho, también). Esto nos permite completar el cuadrado (y también hace que la ecuación "buen aspecto").

Para proceder de su trabajo, se multiplican ambos lados por $4$ y, a continuación, siguiendo el libro de la solución: $$4\times(n^2+n)=4\times(2m^2)$$ La condición se logra simplemente moviendo $1$ a la derecha y moviendo $8m^2$ a mano izquierda.

Answer 3

El $m$th número cuadrado es igual a la $n$ésimo número triangular si
$m={{\left(3+2\sqrt 2\right)^u-\left(3-2\sqrt 2\right)^u}\over{4\sqrt 2}}$ y $n={{\left(3+2\sqrt 2\right)^u-2+\left(3-2\sqrt 2\right)^u}\over 4}$.
Para cada valor entero de que el índice de $u$ - positivo, cero o negativo - no es un par.
Si $m_0=0$$m_1=1$,$m_u=6m_{u-1}-m_{u-2}=6m_{u+1}-m_{u+2}$.
Si $n_0=0$$n_1=1$,$n_u=6n_{u-1}-n_{u-2}+2=6n_{u+1}-n_{u+2}+2$.

Answer 4

Como las otras respuestas han explicado, la multiplicación por 4 es para hacer las cosas más ordenadas. Sin embargo, en una mirada más cercana, la formulación (2n+1)^2 - 1 = 8 m^2 realmente no simplificar la situación. Esto es debido a que (2n+1), un número impar, cuando se eleva al cuadrado, siempre será uno más de [8 veces un número triangular]. Esta formulación simplemente se reitera el problema: cuando es m^2 un número triangular.

De la manera que he ido acerca de este problema es el estado de la siguiente manera: n(n+1) = 2m^2

n y (n+1) puede no comparten factores comunes. Dado que todos los factores primos excepto 2 en el lado derecho se haya elevado a una potencia par, uno de los (n) y (n+1) debe ser un cuadrado y el otro 2 veces un cuadrado. La situación ahora se convierte en: a^2 = 2b^2 +- 1

Para ilustrar, la primera triangulares y cuadrados número después de 1 a 36, debido a que: 3^2 = 2*2^2 + 1

La serie de la plaza triangulars' se puede encontrar mediante la búsqueda de todos a-b pares que satisfacen la ecuación anterior. Los primeros pares son: (1,1); (3,2); (7,5); (17,12). Estos yeild de la plaza triangular de los números: 1, 36, 1225, 41616.

Una serie infinita de estos pares se pueden generar de la siguiente manera: tomar un par; (a,b) el siguiente par es (a+2b, a+b)

Answer 5

Este curso de conversión da soluciones, pero no se obtienen dos ecuaciones.

Sin duda mejor para resolver la ecuación.

Por supuesto, la solución de la ecuación: $Y^2=\frac{X(X\pm1)}{2}$

Define las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-2s^2=\pm1$

Pero es necesario escribir la fórmula que describe sus soluciones a través de la resolución de la ecuación de Pell:

$X=p^2+4ps+4s^2$

$Y=p^2+3ps+2s^2$

Y más.

$X=2s^2$

$Y=ps$

$p,s$ - Estos números puede ser cualquier carácter.

Si usted necesita una solución de la ecuación: $Y^2=\frac{X(X\pm{a})}{2}$

Es necesario sustituir en las fórmulas ecuación Pellya soluciones: $p^2-2s^2=\pm{a}$