Si $z$ es el único elemento que $uzu=u$, ¿por qué es $z=u^{-1}$?

Question

Estoy tratando de averiguar por qué un elemento $u$ en algunas anillo es invertible con inverse $z$ si sólo si

• $uzu=u$ $zu^2z=1$

O

• $uzu=u$ $z$ es el único elemento de la reunión de esta condición.

Claramente, tanto en condiciones de seguir si $u$ es una unidad con inverse $z$. Sin embargo, no veo por qué cualquiera de estas condiciones implica que $z=u^{-1}$.

No he sido capaz de hacer cualquier decente progreso en el mío propio, así que ¿alguien tiene consejos o sugerencias sobre dónde ir? Gracias.

Edit: De Qiaochu la sugerencia, $zu$ $uz$ son idempotente. Por lo $(zu)^2=zu$. Pero $zu$ tiene derecho inverso $uz$, lo $(zu)^2(uz)=(zu)(uz)\implies zu=1$. El análogo argumento para $uz$ muestra $uz=1$, lo $z=u^{-1}$.

¿Alguien tiene una idea para la segunda?

Answer 1

Por el bien de tener una respuesta:

La estrategia es esta: ya que tenemos $u=uzu$, también tenemos $0=u(zu-1)=(uz-1)u$. Si se puede demostrar que $u$ "regular" (en el sentido de que no es distinto de cero cero divisor), luego tenemos a $zu-1=uz-1=0$, estableciendo el resultado.

Por Yuki el comentario de arriba, si $u\alpha=0$,$u(z+\alpha)u=uzu=u$. Por la singularidad de $z$,$z+\alpha=z$, y por lo $\alpha=0$. Un simétrica argumento establece que si $\alpha u=0$,$\alpha=0$. Por lo tanto, $u$ es regular.