¿Existe alguna definición de conjunto de puntos de la conectividad simple?

Question

La definición de conexión de caminos se refiere al conjunto de números reales, $\mathbb{R}$ . (Más precisamente, el intervalo $[0,1]$ ) Por otro lado, la conectividad se define "puramente" en términos de puntos y conjuntos, y no se refiere a $\mathbb{R}$ .

La definición de conectividad simple también depende en gran medida del intervalo $[0,1]$ o $S^1$ . Así que esta es mi pregunta: ¿Existe alguna noción que sea muy similar a la conectividad simple habitual, pero definida "puramente" en términos de puntos y conjuntos? Si la hay, ¿es útil?

Answer 1

Esta es una versión ampliada de mi comentario. Hay dos teorías de homotopía que compiten entre sí y que responden a la pregunta que has formulado, se trata de las teorías de homotopía de Čech y Steenrod (o Steenrod-Sitnikov). Usted puede encontrar una discusión detallada de estos por ejemplo aquí . Sin embargo, si sólo estás aprendiendo topología general y topología algebraica, ambas teorías serán muy difíciles de tragar. Una teoría algo más elemental es la de los grupos de homología (o cohomología) de Čech, véase aquí . La idea es "aproximar" el espacio topológico dado (apuntado en el caso de la homotopía) $X$ con una secuencia de complejos simpliciales $C_i$ que son nervios de ciertas tapas abiertas de $X$ . Para cada $C_i$ se puede definir la (co)homología y los grupos de homotopía de forma puramente combinatoria. (Estos grupos forman un sistema inverso natural y uno puede entonces tomar el límite inverso. Esta es la construcción de Čech. La debida a Steenrod es aún más compleja). Puede que estés familiarizado con esta construcción en el contexto de los grupos de homología. Nótese que la noción de complejo simplicial, aunque está motivada por la noción geométrica de simplex (que requiere números reales) es, de hecho, puramente combinatoria, como la noción más elemental de grafo. Por lo tanto, sus grupos de (co)homología pueden definirse combinatoriamente. Por ejemplo, para definir la combinatoria $\pi_1$ se puede pensar en los elementos de este grupo como clases de equivalencia de rutas de borde basadas. Esta equivalencia se genera a través de la homotopía elemental de tales trayectorias de aristas, donde una arista de un 2-simplex $s$ se sustituye por la concatenación de las otras dos aristas de $s$ (y viceversa).

En el caso de los espacios topológicos "agradables" (como los complejos CW), los grupos de homotopía y (co)homología así definidos son isomorfos a los definidos mediante mapas de intervalos/cubos/esferas y símiles singulares/celulares.

No hace falta decir que sugiero que primero te sientas cómodo con la topología algebraica estándar (por ejemplo, en el libro de Hatcher) antes de intentar tratar algo como los grupos de homotopía de Čech.

Answer 2

Para muchos espacios, como los complejos CW, la conectividad del camino es equivalente a la conectividad. Además, el espacio de bucles de un complejo CW tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (este teorema de Milnor puede necesitar algunos supuestos adicionales, como la finitud, no conozco el enunciado exacto). Por lo tanto, al menos para los complejos CW, la conectividad simple puede definirse sólo en términos de conectividad: un complejo CW es simplemente conectado si está conectado y su espacio de bucle (en algún punto (cualquiera)) está conectado. Lo mismo ocurre entonces para la conectividad superior (a menos que haya alguna hipótesis de finitud en el teorema de Milnor).

Answer 3

La noción de cobertura es puramente "puntos y conjuntos": un mapa $\pi:Y\to X$ es un recubrimiento si es sobreyectivo y cada $p\in X$ tiene un barrio abierto $U\subset X$ tal que $\pi^{-1}(U)$ es una unión disjunta de copias de $U$ . Ahora, dejemos que $X$ sea un espacio topológico conectado. Se puede decir que $X$ es simplemente conexo si no tiene ninguna cobertura conexa no trivial. Esto coincide con la noción habitual de conexión simple cuando $X$ es razonable.