Integrar: $\int\limits_0 ^ {\infty}e^{-x^2}\ln(x)dx $

Question

$$ \displaystyle \int_0 ^ {\infty}e^{-x^2}\ln(x)dx = -\frac{1}{4}(\gamma +2\ln(2))\sqrt{\pi} $$ Se trata de una integral bien conocida. Pero quiero saber cómo resolverla También, por favor, abstenerse de utilizar la integración de contorno, etc, ya que no lo sé.

$\gamma $ es la constante de Euler-Mascheroni

Answer 1

La diferenciación bajo el signo integral da una forma bastante rápida. Deja:

$$ I(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}x^{\frac{\alpha-1}{2}}e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}\,\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right).\tag{1}$$ Nuestra integral es sólo $I'(0)$ : ya que $\Gamma' = \psi\cdot\Gamma$ , $$ \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\log(x)\,dx = \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\psi\left(\frac{1}{2}\right)=\color{red}{-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\left(\gamma+2\log 2\right)}.\tag{2} $$ $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ es conocido y $\psi\left(\frac{1}{2}\right)$ puede calcularse a partir de $\psi(1)=-\gamma$ y la fórmula de duplicación para el $\psi$ función: $$ \psi(z)+\psi\left(z+\frac{1}{2}\right) = -2\log 2+2\,\psi(2z).\tag{3} $$